実数 $x$ に対して、無限級数 $$ x + \frac{x}{1-x} + \frac{x}{(1-x)^2} + \frac{x}{(1-x)^3} + \cdots + \frac{x}{(1-x)^{n-1}} + \cdots $$ が収束するような $x$ の値の範囲と、そのときの極限値を求める。

1. 問題の内容

実数 $x$ に対して、無限級数

$$x + \frac{x}{1-x} + \frac{x}{(1-x)^2} + \frac{x}{(1-x)^3} + \cdots + \frac{x}{(1-x)^{n-1}} + \cdots$$

が収束するような $x$ の値の範囲と、そのときの極限値を求める。

2. 解き方の手順

与えられた無限級数は、初項 $x$、公比 $\frac{1}{1-x}$ の無限等比級数であると考えられる。ただし、初項が $x$であるため、注意が必要である。

無限等比級数が収束するための条件は、公比の絶対値が1より小さいこと、または初項が0であることである。

まず、公比が $\frac{1}{1-x}$ であるから、収束条件は

$$\left| \frac{1}{1-x} \right| < 1$$

または $x=0$ である。

$x=0$ のときは、与えられた級数は全ての項が0になるため、明らかに収束し、その極限値は0である。

$\left| \frac{1}{1-x} \right| < 1$ のとき、絶対値の逆数をとると

$$|1-x| > 1$$

これは $1-x > 1$ または $1-x < -1$ を意味する。

$1-x > 1$ より $x < 0$

$1-x < -1$ より $x > 2$

したがって、$x$ の範囲は $x < 0$ または $x > 2$ である。

次に、この範囲において級数の和を求める。無限等比級数の和の公式より

$$S = \frac{x}{1 - \frac{1}{1-x}} = \frac{x}{\frac{1-x-1}{1-x}} = \frac{x(1-x)}{-x}$$

$x \neq 0$ であるので、

$$S = -(1-x) = x-1$$

3. 最終的な答え

無限級数が収束する $x$ の範囲は $x \le 0$ または $x > 2$ であり、$x \le 0$ のとき極限値は、$x=0$ なら0、$x<0$なら$x-1$である。$x>2$ のとき極限値は $x-1$ である。

したがって、$x \le 0$ または $x > 2$ において収束し、極限値は

$$$$

\begin{cases}

0 & (x = 0) \\

x-1 & (x < 0 \text{ または } x > 2)

\end{cases}

$$$$

と表せる。あるいは $x=0$ の場合を$x-1$に含めるように解釈すると、

$x \leq 0$ または $x>2$ の範囲で収束し、極限値は$x-1$。