$\lim_{x \to 0} \frac{\log_e(1 + \sin x)}{\sin x}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\log_e(1 + \sin x)}{\sin x}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

この極限を計算するために、ロピタルの定理を使う方法と、変形して既知の極限を使う方法があります。ここでは後者の方法で解きます。

$\sin x = t$ とおくと、$x \to 0$ のとき、$t \to 0$ となります。したがって、極限は以下のように書き換えられます。

$\lim_{x \to 0} \frac{\log_e(1 + \sin x)}{\sin x} = \lim_{t \to 0} \frac{\log_e(1 + t)}{t}$

ここで、$\lim_{x \to 0} \frac{\log_e(1 + x)}{x} = 1$ という既知の極限を利用します。

したがって、

$\lim_{t \to 0} \frac{\log_e(1 + t)}{t} = 1$

3. 最終的な答え

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