$\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{2}{x})^x$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{2}{x})^x$ を求めよ。

2. 解き方の手順

この極限は、自然対数の底 $e$ の定義を利用して求めることができます。

まず、与えられた式を $e$ を使った形に変形します。

$y = (1 - \frac{2}{x})^x$ とおきます。

両辺の自然対数をとると、

$\ln{y} = \ln{(1 - \frac{2}{x})^x} = x \ln{(1 - \frac{2}{x})}$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{2}{x} \to 0$ なので、$\ln{(1+z)} \approx z$ (ただし $z \to 0$) が使えます。

$\ln{y} = x \ln{(1 - \frac{2}{x})} \approx x (-\frac{2}{x}) = -2$

したがって、$\lim_{x \to \infty} \ln{y} = -2$ となります。

$\lim_{x \to \infty} y = e^{\lim_{x \to \infty} \ln{y}} = e^{-2}$

3. 最終的な答え

$e^{-2}$