関数 $f(x,y) = -60\ln(x) - 21\ln(y) + 2xy + 6x - 3y$ の極値を求める問題です。 $f_x(x,y) = f_y(x,y) = 0$ となる $(x,y)$ を $(\alpha_1, \beta_1), (\alpha_2, \beta_2)$ とし、それぞれの点における $f_{xx}$ とヘッセ行列の行列式 $|H|$ の値を求め、極大・極小を判定します。

1. 問題の内容

関数 $f(x,y) = -60\ln(x) - 21\ln(y) + 2xy + 6x - 3y$ の極値を求める問題です。

$f_x(x,y) = f_y(x,y) = 0$ となる $(x,y)$ を $(\alpha_1, \beta_1), (\alpha_2, \beta_2)$ とし、それぞれの点における $f_{xx}$ とヘッセ行列の行列式 $|H|$ の値を求め、極大・極小を判定します。

2. 解き方の手順

まず、偏微分 $f_x$ と $f_y$ を計算します。

$f_x = -\frac{60}{x} + 2y + 6$

$f_y = -\frac{21}{y} + 2x - 3$

$f_x = 0$ かつ $f_y = 0$ を満たす $(x,y)$ を求めます。

$-\frac{60}{x} + 2y + 6 = 0$ より、 $2y = \frac{60}{x} - 6$

$y = \frac{30}{x} - 3$

$-\frac{21}{y} + 2x - 3 = 0$ より、 $\frac{21}{y} = 2x - 3$

$y = \frac{21}{2x-3}$

したがって、

$\frac{30}{x} - 3 = \frac{21}{2x-3}$

$(30-3x)(2x-3) = 21x$

$60x - 90 - 6x^2 + 9x = 21x$

$6x^2 - 48x + 90 = 0$

$x^2 - 8x + 15 = 0$

$(x-3)(x-5) = 0$

$x = 3, 5$

$x = 3$ のとき、$y = \frac{30}{3} - 3 = 10 - 3 = 7$

$x = 5$ のとき、$y = \frac{30}{5} - 3 = 6 - 3 = 3$

よって、$(\alpha_1, \beta_1) = (3, 7)$, $(\alpha_2, \beta_2) = (5, 3)$

次に、2階偏微分を計算します。

$f_{xx} = \frac{60}{x^2}$

$f_{yy} = \frac{21}{y^2}$

$f_{xy} = 2$

$f_{yx} = 2$

ヘッセ行列 $H$ は

$H = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{60}{x^2} & 2 \\ 2 & \frac{21}{y^2} \end{pmatrix}$

$(x,y) = (3,7)$ のとき、

$f_{xx}(3,7) = \frac{60}{3^2} = \frac{60}{9} = \frac{20}{3}$

$|H(3,7)| = \frac{60}{3^2} \cdot \frac{21}{7^2} - 2^2 = \frac{20}{3} \cdot \frac{3}{7} - 4 = \frac{20}{7} - 4 = \frac{20 - 28}{7} = -\frac{8}{7} < 0$

ヘッセ行列は不定符号なので、鞍点です。

$(x,y) = (5,3)$ のとき、

$f_{xx}(5,3) = \frac{60}{5^2} = \frac{60}{25} = \frac{12}{5}$

$|H(5,3)| = \frac{60}{5^2} \cdot \frac{21}{3^2} - 2^2 = \frac{12}{5} \cdot \frac{7}{3} - 4 = \frac{28}{5} - 4 = \frac{28-20}{5} = \frac{8}{5} > 0$

$f_{xx}(5,3) > 0$ なので、極小値です。

3. 最終的な答え

$\alpha_1 = 3$

$\beta_1 = 7$

$\alpha_2 = 5$

$\beta_2 = 3$

$f_{xx}(\alpha_1, \beta_1) = \frac{20}{3}$

$|H(\alpha_1, \beta_1)| = -\frac{8}{7}$

ヘッセ行列は不定符号であるから鞍点となる。

$f_{xx}(\alpha_2, \beta_2) = \frac{12}{5}$

$|H(\alpha_2, \beta_2)| = \frac{8}{5}$

ヘッセ行列は正定値であるから極小値となる。