次の極限を求めます。 $\lim_{x \to \infty} (x + \frac{1}{x}) \sin \frac{1}{x}$

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

$\lim_{x \to \infty} (x + \frac{1}{x}) \sin \frac{1}{x}$

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を変形します。

$\lim_{x \to \infty} (x + \frac{1}{x}) \sin \frac{1}{x} = \lim_{x \to \infty} x \sin \frac{1}{x} + \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \sin \frac{1}{x}$

ここで、$t = \frac{1}{x}$ と置くと、$x \to \infty$ のとき $t \to 0$ となります。

$\lim_{x \to \infty} x \sin \frac{1}{x} = \lim_{t \to 0} \frac{1}{t} \sin t = \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$

また、

$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \sin \frac{1}{x} = \lim_{t \to 0} t \sin t = 0 \cdot \sin 0 = 0 \cdot 0 = 0$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} (x + \frac{1}{x}) \sin \frac{1}{x} = 1 + 0 = 1$

3. 最終的な答え

1