$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\tan x}$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\tan x}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ なので、与式は以下のように書き換えられます。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\frac{\sin x}{\cos x}} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x \cos x}{\sin x}$

ここで、$x \to 0$ のとき $\cos x \to 1$ であることを利用すると、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x \cos x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{ax} = 1$ を利用するため、分子と分母を $x$ で割ります。

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin 3x}{x}}{\frac{\sin x}{x}} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3}{\frac{\sin x}{x}}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{ax} = 1$ より、

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3}{\frac{\sin x}{x}} = \frac{1 \cdot 3}{1} = 3$

3. 最終的な答え

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