関数 $f(x, y) = 5 \ln(y) + \frac{x^2 - 4x + 19}{y}$ の極値を求めます。まず、$f_x(x, y) = 0$ および $f_y(x, y) = 0$ となる解 $(x, y) = (\alpha_1, \beta_1), (\alpha_2, \beta_2)$ を求めます。次に、ヘッセ行列 $H(x, y)$ を用いて、各点 $(\alpha_1, \beta_1), (\alpha_2, \beta_2)$ における $f_{xx}$ の値と $|H(x, y)|$ の値を計算し、極値判定を行います。

はい、承知いたしました。以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = 5 \ln(y) + \frac{x^2 - 4x + 19}{y}$ の極値を求めます。まず、$f_x(x, y) = 0$ および $f_y(x, y) = 0$ となる解 $(x, y) = (\alpha_1, \beta_1), (\alpha_2, \beta_2)$ を求めます。次に、ヘッセ行列 $H(x, y)$ を用いて、各点 $(\alpha_1, \beta_1), (\alpha_2, \beta_2)$ における $f_{xx}$ の値と $|H(x, y)|$ の値を計算し、極値判定を行います。

2. 解き方の手順

まず、$f_x$ と $f_y$ を計算します。

$f_x = \frac{2x - 4}{y}$

$f_y = \frac{5}{y} - \frac{x^2 - 4x + 19}{y^2}$

$f_x = 0$ より、$2x - 4 = 0$ なので、$x = 2$ です。

$f_y = 0$ より、$\frac{5}{y} = \frac{x^2 - 4x + 19}{y^2}$ なので、$5y = x^2 - 4x + 19$ です。

$x = 2$ を代入すると、$5y = 2^2 - 4(2) + 19 = 4 - 8 + 19 = 15$ となります。

よって、$y = 3$ です。

したがって、$f_x = 0$ と $f_y = 0$ を満たす点は $(2, 3)$ のみです。つまり、$(\alpha_1, \beta_1) = (\alpha_2, \beta_2) = (2, 3)$ です。

$\alpha_1 = 2$, $\beta_1 = 3$, $\alpha_2 = 2$, $\beta_2 = 3$

次に、2階偏導関数を計算します。

$f_{xx} = \frac{2}{y}$

$f_{yy} = -\frac{5}{y^2} + \frac{2(x^2 - 4x + 19)}{y^3}$

$f_{xy} = f_{yx} = \frac{-2x + 4}{y^2}$

ヘッセ行列は次のようになります。

$H(x, y) = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix}$

$(x, y) = (2, 3)$ における $f_{xx}$ の値を計算します。

$f_{xx}(2, 3) = \frac{2}{3}$

$(x, y) = (2, 3)$ における $H(x, y)$ の値を計算します。

$f_{xx}(2, 3) = \frac{2}{3}$

$f_{xy}(2, 3) = \frac{-2(2) + 4}{3^2} = \frac{0}{9} = 0$

$f_{yy}(2, 3) = -\frac{5}{3^2} + \frac{2(2^2 - 4(2) + 19)}{3^3} = -\frac{5}{9} + \frac{2(15)}{27} = -\frac{5}{9} + \frac{30}{27} = -\frac{5}{9} + \frac{10}{9} = \frac{5}{9}$

したがって、

$H(2, 3) = \begin{pmatrix} \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & \frac{5}{9} \end{pmatrix}$

$|H(2, 3)| = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{9} - 0 \cdot 0 = \frac{10}{27}$

$f_{xx}(2, 3) = \frac{2}{3} > 0$ であり、$|H(2, 3)| = \frac{10}{27} > 0$ であるから、$(2, 3)$ は極小値を取ります。

まとめると、

$\alpha_1 = 2$, $\beta_1 = 3$

$\alpha_2 = 2$, $\beta_2 = 3$

$f_{xx}(\alpha_1, \beta_1) = \frac{2}{3}$

$|H(\alpha_1, \beta_1)| = \frac{10}{27}$

ヘッセ行列は正定値であるから、極小値となる。

$f_{xx}(\alpha_2, \beta_2) = \frac{2}{3}$

$|H(\alpha_2, \beta_2)| = \frac{10}{27}$

ヘッセ行列は正定値であるから、極小値となる。

3. 最終的な答え

$\alpha_1 = 2$

$\beta_1 = 3$

$\alpha_2 = 2$

$\beta_2 = 3$

$f_{xx}(\alpha_1, \beta_1) = \frac{2}{3}$

$|H(\alpha_1, \beta_1)| = \frac{10}{27}$

ヘッセ行列は正定値であるから、極小値となる。

$f_{xx}(\alpha_2, \beta_2) = \frac{2}{3}$

$|H(\alpha_2, \beta_2)| = \frac{10}{27}$

ヘッセ行列は正定値であるから、極小値となる。