与えられた関数 $f(x, y) = 5\ln(y) + \frac{x^2 - 4x + 19}{y}$ について、偏微分 $f_x(x, y) = 0$ および $f_y(x, y) = 0$ を満たす解 $(x, y) = (\alpha_1, \beta_1), (\alpha_2, \beta_2)$ が与えられています。$\alpha_1 = 2$ と $\beta_1 = 3$ はすでに与えられています。ヘッセ行列 $H(x, y)$ を用いて、点 $(\alpha_2, \beta_2)$ における $f_{xx}(\alpha_2, \beta_2)$ の値とヘッセ行列式 $|H(\alpha_2, \beta_2)|$ の値を求め、ヘッセ行列が正定値であるか負定値であるか判定し、極大値または極小値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x, y) = 5\ln(y) + \frac{x^2 - 4x + 19}{y}$ について、偏微分 $f_x(x, y) = 0$ および $f_y(x, y) = 0$ を満たす解 $(x, y) = (\alpha_1, \beta_1), (\alpha_2, \beta_2)$ が与えられています。$\alpha_1 = 2$ と $\beta_1 = 3$ はすでに与えられています。ヘッセ行列 $H(x, y)$ を用いて、点 $(\alpha_2, \beta_2)$ における $f_{xx}(\alpha_2, \beta_2)$ の値とヘッセ行列式 $|H(\alpha_2, \beta_2)|$ の値を求め、ヘッセ行列が正定値であるか負定値であるか判定し、極大値または極小値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\alpha_2$と$\beta_2$を求めます。

$f_x(x, y) = \frac{2x-4}{y} = 0$より、$2x-4 = 0$なので、$x=2$となります。よって$\alpha_2 = 2$です。

次に、$f_y(x, y) = \frac{5}{y} + \frac{-(x^2-4x+19)}{y^2} = 0$より、

$5y - (x^2 - 4x + 19) = 0$

$5y = x^2 - 4x + 19$

$x = 2$を代入すると、$5y = 4 - 8 + 19 = 15$なので、$y = 3$となります。よって、$\beta_2 = 3$となり、$(\alpha_2, \beta_2)=(2,3)=(\alpha_1, \beta_1)$となります。

次に、$f_{xx}(x, y) = \frac{2}{y}$なので、$f_{xx}(\alpha_2, \beta_2) = f_{xx}(2,3) = \frac{2}{3}$となります。

次に、ヘッセ行列式を計算します。

$f_{xy}(x,y) = \frac{-2x+4}{y^2}$なので、$f_{xy}(2,3)=0$

$f_{yy}(x,y) = \frac{-5}{y^2} + \frac{2(x^2-4x+19)}{y^3}$なので、$f_{yy}(2,3) = \frac{-5}{9} + \frac{2(4-8+19)}{27} = \frac{-5}{9} + \frac{30}{27} = \frac{-5}{9} + \frac{10}{9} = \frac{5}{9}$

ヘッセ行列は

$H(x,y) = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2}{y} & \frac{-2x+4}{y^2} \\ \frac{-2x+4}{y^2} & \frac{-5}{y^2} + \frac{2(x^2-4x+19)}{y^3} \end{pmatrix}$

ヘッセ行列式は

$|H(x,y)| = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 = \frac{2}{y}(\frac{-5}{y^2} + \frac{2(x^2-4x+19)}{y^3}) - (\frac{-2x+4}{y^2})^2$

$|H(2,3)| = \frac{2}{3} \times \frac{5}{9} - 0 = \frac{10}{27}$

$(\alpha_2, \beta_2) = (2, 3)$において、$f_{xx}(2, 3) = \frac{2}{3} > 0$であり、$|H(2, 3)| = \frac{10}{27} > 0$であるため、ヘッセ行列は正定値であり、極小値となります。

3. 最終的な答え

$\alpha_2 = 2$

$\beta_2 = 3$

$f_{xx}(\alpha_2, \beta_2) = \frac{2}{3}$

$|H(\alpha_2, \beta_2)| = \frac{10}{27}$

ヘッセ行列は正定値であるから、極小値となる。