与えられた二変数関数 $f(x, y) = 432x^{\frac{1}{6}}y^{\frac{1}{3}} - 27x - 16y$ の極値を求めるために、以下の手順で計算を行う。まず、$f_x(x, y) = 0$ と $f_y(x, y) = 0$ を満たす $(x, y) = (\alpha_1, \beta_1), (\alpha_2, \beta_2)$ を求める。次に、ヘッセ行列を計算し、各点でヘッセ行列の値を評価する。そして、$f_{xx}(\alpha_i, \beta_i)$ とヘッセ行列の行列式 $H(\alpha_i, \beta_i)$ の符号を調べることで、極大値、極小値、または鞍点であるかを判定する。

1. 問題の内容

与えられた二変数関数 $f(x, y) = 432x^{\frac{1}{6}}y^{\frac{1}{3}} - 27x - 16y$ の極値を求めるために、以下の手順で計算を行う。まず、$f_x(x, y) = 0$ と $f_y(x, y) = 0$ を満たす $(x, y) = (\alpha_1, \beta_1), (\alpha_2, \beta_2)$ を求める。次に、ヘッセ行列を計算し、各点でヘッセ行列の値を評価する。そして、$f_{xx}(\alpha_i, \beta_i)$ とヘッセ行列の行列式 $H(\alpha_i, \beta_i)$ の符号を調べることで、極大値、極小値、または鞍点であるかを判定する。

2. 解き方の手順

まず、偏微分を計算します。

$f_x(x, y) = 432 \cdot \frac{1}{6} x^{-\frac{5}{6}} y^{\frac{1}{3}} - 27 = 72x^{-\frac{5}{6}} y^{\frac{1}{3}} - 27$

$f_y(x, y) = 432 \cdot \frac{1}{3} x^{\frac{1}{6}} y^{-\frac{2}{3}} - 16 = 144x^{\frac{1}{6}} y^{-\frac{2}{3}} - 16$

$f_x(x, y) = 0$ と $f_y(x, y) = 0$ を解きます。

$72x^{-\frac{5}{6}} y^{\frac{1}{3}} = 27$

$144x^{\frac{1}{6}} y^{-\frac{2}{3}} = 16$

一つ目の式から

$y^{\frac{1}{3}} = \frac{27}{72} x^{\frac{5}{6}} = \frac{3}{8} x^{\frac{5}{6}}$

二つ目の式から

$x^{\frac{1}{6}} = \frac{16}{144} y^{\frac{2}{3}} = \frac{1}{9} y^{\frac{2}{3}}$

$y^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{8} x^{\frac{5}{6}}$ を2乗すると $y^{\frac{2}{3}} = \frac{9}{64} x^{\frac{5}{3}}$

$x^{\frac{1}{6}} = \frac{1}{9} y^{\frac{2}{3}}$ に代入すると

$x^{\frac{1}{6}} = \frac{1}{9} (\frac{9}{64} x^{\frac{5}{3}}) = \frac{1}{64} x^{\frac{5}{3}}$

$x^{\frac{1}{6}} = \frac{1}{64} x^{\frac{10}{6}}$

$x^{\frac{9}{6}} = 64$

$x^{\frac{3}{2}} = 64$

$x = 64^{\frac{2}{3}} = (4^3)^{\frac{2}{3}} = 4^2 = 16$

$x = 16$ を $y^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{8} x^{\frac{5}{6}}$ に代入すると

$y^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{8} (16)^{\frac{5}{6}} = \frac{3}{8} (2^4)^{\frac{5}{6}} = \frac{3}{8} (2^{\frac{20}{6}}) = \frac{3}{8} (2^{\frac{10}{3}}) = \frac{3}{8} 2^3 \sqrt[3]{4} = \frac{3}{8} 8\sqrt[3]{4} = 3 \sqrt[3]{4}$

$y = (3\sqrt[3]{4})^3 = 27 \cdot 4 = 108$

よって$(\alpha_1, \beta_1) = (16, 108)$.

次に二階偏微分を計算する。

$f_{xx}(x, y) = 72 (-\frac{5}{6}) x^{-\frac{11}{6}} y^{\frac{1}{3}} = -60 x^{-\frac{11}{6}} y^{\frac{1}{3}}$

$f_{yy}(x, y) = 144 (-\frac{2}{3}) x^{\frac{1}{6}} y^{-\frac{5}{3}} = -96 x^{\frac{1}{6}} y^{-\frac{5}{3}}$

$f_{xy}(x, y) = 72 x^{-\frac{5}{6}} (\frac{1}{3}) y^{-\frac{2}{3}} = 24 x^{-\frac{5}{6}} y^{-\frac{2}{3}}$

$f_{yx}(x, y) = 144 (\frac{1}{6}) x^{-\frac{5}{6}} y^{-\frac{2}{3}} = 24 x^{-\frac{5}{6}} y^{-\frac{2}{3}}$

ヘッセ行列は

$H(x, y) = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2 = (-60 x^{-\frac{11}{6}} y^{\frac{1}{3}}) (-96 x^{\frac{1}{6}} y^{-\frac{5}{3}}) - (24 x^{-\frac{5}{6}} y^{-\frac{2}{3}})^2 = 5760 x^{-\frac{10}{6}} y^{-\frac{4}{3}} - 576 x^{-\frac{10}{6}} y^{-\frac{4}{3}} = 5184 x^{-\frac{5}{3}} y^{-\frac{4}{3}}$

点 $(16, 108)$ でのヘッセ行列を計算する。

$f_{xx}(16, 108) = -60 (16)^{-\frac{11}{6}} (108)^{\frac{1}{3}} = -60 (2^4)^{-\frac{11}{6}} (27 \cdot 4)^{\frac{1}{3}} = -60 (2^{-\frac{22}{3}}) (3^3 \cdot 2^2)^{\frac{1}{3}} = -60 (2^{-\frac{22}{3}}) (3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}) = -180 \cdot 2^{-\frac{20}{3}} = -180 \cdot \frac{1}{2^6 \sqrt[3]{2^2}} = -180 \cdot \frac{1}{64\sqrt[3]{4}}$

$H(16, 108) = 5184 (16)^{-\frac{5}{3}} (108)^{-\frac{4}{3}} = 5184 (2^4)^{-\frac{5}{3}} (2^2 3^3)^{-\frac{4}{3}} = 5184 (2^{-\frac{20}{3}}) (2^{-\frac{8}{3}}) (3^{-4}) = 5184 (2^{-\frac{28}{3}}) (3^{-4}) = \frac{5184}{3^4 2^{\frac{28}{3}}} = \frac{5184}{81 \cdot 2^9 \sqrt[3]{2}} = \frac{64}{2^9 \sqrt[3]{2}} = \frac{64}{512\sqrt[3]{2}} = \frac{1}{8\sqrt[3]{2}} > 0$

$f_{xx}(16, 108) < 0$ かつ $H(16, 108) > 0$ なので、$(16, 108)$ は極大値となる。

3. 最終的な答え

$\alpha_1 = 16$

$\beta_1 = 108$

$\alpha_2 =$ 該当なし

$\beta_2 =$ 該当なし

$f_{xx}(\alpha_1, \beta_1) = -180 \cdot 2^{-\frac{20}{3}}$

$|H(\alpha_1, \beta_1)| = 5184 (16)^{-\frac{5}{3}} (108)^{-\frac{4}{3}}$

ヘッセ行列は正であるから、極大となる

$f_{xx}(\alpha_2, \beta_2) =$該当なし

$|H(\alpha_2, \beta_2)| =$該当なし

ヘッセ行列は該当なしであるから、該当なしとなる