与えられた積分問題を解きます。具体的には、以下の積分を計算します。 (1) $\int \frac{1}{2x+1} dx$ (2) $\int (2x+3)^3 dx$ (3) $\int \frac{1}{(4x-3)^3} dx$ (5) $\int \frac{1}{\sqrt{2-3x}} dx$ (6) $\int \sin 3x dx$ (7) $\int e^{2x+3} dx$ (9) $\int x\sqrt{1-x} dx$ (10) $\int \frac{x}{\sqrt{x+1}} dx$

はい、承知しました。画像に写っている積分問題をいくつか解きます。

1. 問題の内容

与えられた積分問題を解きます。具体的には、以下の積分を計算します。

(1) $\int \frac{1}{2x+1} dx$

(2) $\int (2x+3)^3 dx$

(3) $\int \frac{1}{(4x-3)^3} dx$

(5) $\int \frac{1}{\sqrt{2-3x}} dx$

(6) $\int \sin 3x dx$

(7) $\int e^{2x+3} dx$

(9) $\int x\sqrt{1-x} dx$

(10) $\int \frac{x}{\sqrt{x+1}} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{1}{2x+1} dx$

$u = 2x+1$ と置換すると、$du = 2 dx$ となり、$dx = \frac{1}{2} du$。

$\int \frac{1}{2x+1} dx = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} \ln |u| + C = \frac{1}{2} \ln |2x+1| + C$

(2) $\int (2x+3)^3 dx$

$u = 2x+3$ と置換すると、$du = 2 dx$ となり、$dx = \frac{1}{2} du$。

$\int (2x+3)^3 dx = \int u^3 \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^3 du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^4}{4} + C = \frac{1}{8} (2x+3)^4 + C$

(3) $\int \frac{1}{(4x-3)^3} dx$

$u = 4x-3$ と置換すると、$du = 4 dx$ となり、$dx = \frac{1}{4} du$。

$\int \frac{1}{(4x-3)^3} dx = \int \frac{1}{u^3} \cdot \frac{1}{4} du = \frac{1}{4} \int u^{-3} du = \frac{1}{4} \cdot \frac{u^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{8(4x-3)^2} + C$

(5) $\int \frac{1}{\sqrt{2-3x}} dx$

$u = 2-3x$ と置換すると、$du = -3 dx$ となり、$dx = -\frac{1}{3} du$。

$\int \frac{1}{\sqrt{2-3x}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot -\frac{1}{3} du = -\frac{1}{3} \int u^{-1/2} du = -\frac{1}{3} \cdot \frac{u^{1/2}}{1/2} + C = -\frac{2}{3} \sqrt{2-3x} + C$

(6) $\int \sin 3x dx$

$u = 3x$ と置換すると、$du = 3 dx$ となり、$dx = \frac{1}{3} du$。

$\int \sin 3x dx = \int \sin u \cdot \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int \sin u du = \frac{1}{3} (-\cos u) + C = -\frac{1}{3} \cos 3x + C$

(7) $\int e^{2x+3} dx$

$u = 2x+3$ と置換すると、$du = 2 dx$ となり、$dx = \frac{1}{2} du$。

$\int e^{2x+3} dx = \int e^u \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int e^u du = \frac{1}{2} e^u + C = \frac{1}{2} e^{2x+3} + C$

(9) $\int x\sqrt{1-x} dx$

$u = 1-x$ と置換すると、$x = 1-u$、$dx = -du$。

$\int x\sqrt{1-x} dx = \int (1-u) \sqrt{u} (-du) = -\int (u^{1/2} - u^{3/2}) du = -\left( \frac{u^{3/2}}{3/2} - \frac{u^{5/2}}{5/2} \right) + C = -\frac{2}{3} (1-x)^{3/2} + \frac{2}{5} (1-x)^{5/2} + C$

(10) $\int \frac{x}{\sqrt{x+1}} dx$

$u = x+1$ と置換すると、$x = u-1$、$dx = du$。

$\int \frac{x}{\sqrt{x+1}} dx = \int \frac{u-1}{\sqrt{u}} du = \int (u^{1/2} - u^{-1/2}) du = \frac{u^{3/2}}{3/2} - \frac{u^{1/2}}{1/2} + C = \frac{2}{3} (x+1)^{3/2} - 2\sqrt{x+1} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2} \ln |2x+1| + C$

(2) $\frac{1}{8} (2x+3)^4 + C$

(3) $-\frac{1}{8(4x-3)^2} + C$

(5) $-\frac{2}{3} \sqrt{2-3x} + C$

(6) $-\frac{1}{3} \cos 3x + C$

(7) $\frac{1}{2} e^{2x+3} + C$

(9) $-\frac{2}{3} (1-x)^{3/2} + \frac{2}{5} (1-x)^{5/2} + C$

(10) $\frac{2}{3} (x+1)^{3/2} - 2\sqrt{x+1} + C$