以下の極限と関数の極値を求める問題です。 (1) $\lim_{x\to 0} \frac{e^x - \cos x}{x}$ (2) $\lim_{x\to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2x}{x - \sin x}$ (3) $\lim_{x\to \frac{\pi}{2} + 0} (\frac{\pi}{2} - x)\tan x$ (4) $f(x) = -x^3 + 6x^2 - 9x + 1$ の極値 (5) $f(x) = x^2e^{-2x}$ の極値

1. 問題の内容

以下の極限と関数の極値を求める問題です。

(1) $\lim_{x\to 0} \frac{e^x - \cos x}{x}$

(2) $\lim_{x\to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2x}{x - \sin x}$

(3) $\lim_{x\to \frac{\pi}{2} + 0} (\frac{\pi}{2} - x)\tan x$

(4) $f(x) = -x^3 + 6x^2 - 9x + 1$ の極値

(5) $f(x) = x^2e^{-2x}$ の極値

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x\to 0} \frac{e^x - \cos x}{x}$

ロピタルの定理を使う。

$e^0 - \cos 0 = 1 - 1 = 0$

$x = 0$ のとき、$0$

$\lim_{x\to 0} \frac{e^x + \sin x}{1} = e^0 + \sin 0 = 1 + 0 = 1$

(2) $\lim_{x\to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2x}{x - \sin x}$

ロピタルの定理を2回使う。

$e^0 - e^0 - 0 = 0$

$0 - 0 = 0$

$\lim_{x\to 0} \frac{e^x + e^{-x} - 2}{1 - \cos x}$

$1 + 1 - 2 = 0$

$1 - 1 = 0$

$\lim_{x\to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{\sin x}$

$1 - (-1) = 2$

$0 = 0$

$\lim_{x\to 0} \frac{e^x + e^{-x}}{\cos x} = \frac{1 + 1}{1} = 2$

(3) $\lim_{x\to \frac{\pi}{2} + 0} (\frac{\pi}{2} - x)\tan x$

$t = \frac{\pi}{2} - x$ とおくと、$x = \frac{\pi}{2} - t$であり、$x\to \frac{\pi}{2} + 0$ のとき、$t \to -0$

$\lim_{t\to -0} t\tan(\frac{\pi}{2} - t) = \lim_{t\to -0} t \cot t = \lim_{t\to -0} t\frac{\cos t}{\sin t} = \lim_{t\to -0} \frac{t}{\sin t}\cos t = 1 \cdot 1 = 1$

(4) $f(x) = -x^3 + 6x^2 - 9x + 1$

$f'(x) = -3x^2 + 12x - 9 = -3(x^2 - 4x + 3) = -3(x - 1)(x - 3)$

$f'(x) = 0$ となるのは、$x = 1, 3$

$f(1) = -1 + 6 - 9 + 1 = -3$

$f(3) = -27 + 54 - 27 + 1 = 1$

$x < 1$ のとき、$f'(x) < 0$

$1 < x < 3$ のとき、$f'(x) > 0$

$x > 3$ のとき、$f'(x) < 0$

よって、$x = 1$ で極小値 $-3$、$x = 3$ で極大値 $1$

(5) $f(x) = x^2e^{-2x}$

$f'(x) = 2xe^{-2x} - 2x^2e^{-2x} = 2x(1 - x)e^{-2x}$

$f'(x) = 0$ となるのは、$x = 0, 1$

$f(0) = 0$

$f(1) = e^{-2} = \frac{1}{e^2}$

$x < 0$ のとき、$f'(x) < 0$

$0 < x < 1$ のとき、$f'(x) > 0$

$x > 1$ のとき、$f'(x) < 0$

よって、$x = 0$ で極小値 $0$、$x = 1$ で極大値 $\frac{1}{e^2}$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 2

(3) 1

(4) $x = 1$ で極小値 $-3$、$x = 3$ で極大値 $1$

(5) $x = 0$ で極小値 $0$、$x = 1$ で極大値 $\frac{1}{e^2}$