$\lim_{x \to \infty} \frac{20x^2 + 8\sin x}{5x^2 + 4x}$ の極限値を求め、選択肢の中から正しいものを選ぶ問題です。解析学極限関数の極限三角関数不定形2025/7/81. 問題の内容limx→∞20x2+8sinx5x2+4x\lim_{x \to \infty} \frac{20x^2 + 8\sin x}{5x^2 + 4x}limx→∞5x2+4x20x2+8sinx の極限値を求め、選択肢の中から正しいものを選ぶ問題です。2. 解き方の手順まず、20x2+8sinx5x2+4x\frac{20x^2 + 8\sin x}{5x^2 + 4x}5x2+4x20x2+8sinx の分子と分母を x2x^2x2 で割ります。20x2+8sinx5x2+4x=20+8sinxx25+4x\frac{20x^2 + 8\sin x}{5x^2 + 4x} = \frac{20 + \frac{8\sin x}{x^2}}{5 + \frac{4}{x}}5x2+4x20x2+8sinx=5+x420+x28sinx次に、x→∞x \to \inftyx→∞ のときの各項の極限を考えます。x→∞x \to \inftyx→∞ のとき、 4x→0\frac{4}{x} \to 0x4→0 です。また、−1≤sinx≤1-1 \le \sin x \le 1−1≤sinx≤1 より、−8x2≤8sinxx2≤8x2-\frac{8}{x^2} \le \frac{8\sin x}{x^2} \le \frac{8}{x^2}−x28≤x28sinx≤x28 です。x→∞x \to \inftyx→∞ のとき、 8x2→0\frac{8}{x^2} \to 0x28→0 であるから、8sinxx2→0\frac{8\sin x}{x^2} \to 0x28sinx→0 となります。したがって、limx→∞20+8sinxx25+4x=20+05+0=205=4\lim_{x \to \infty} \frac{20 + \frac{8\sin x}{x^2}}{5 + \frac{4}{x}} = \frac{20 + 0}{5 + 0} = \frac{20}{5} = 4limx→∞5+x420+x28sinx=5+020+0=520=43. 最終的な答え4