* 問1 (1): 関数 $f(x, y) = x^3 + 2xy^3$ の2階偏導関数を求めます。 * 問2 (1): 関数 $f(x, y) = x^3 - y^3 - 3x + 12y$ の極値を求めます。

はい、了解しました。画像にある問題について、問1の(1)と問2の(1)を解きます。

1. 問題の内容

* 問1 (1): 関数 $f(x, y) = x^3 + 2xy^3$ の2階偏導関数を求めます。

* 問2 (1): 関数 $f(x, y) = x^3 - y^3 - 3x + 12y$ の極値を求めます。

2. 解き方の手順

* 問1 (1)

1. まず、1階偏導関数を求めます。

* $f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 + 2y^3$

* $f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = 6xy^2$

2. 次に、2階偏導関数を求めます。

* $f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}(3x^2 + 2y^3) = 6x$

* $f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}(6xy^2) = 12xy$

* $f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x}(6xy^2) = 6y^2$

* $f_{yx} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y}(3x^2 + 2y^3) = 6y^2$

* 問2 (1)

1. まず、1階偏導関数を求めます。

* $f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 - 3$

* $f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = -3y^2 + 12$

2. 次に、連立方程式 $f_x = 0$ かつ $f_y = 0$ を解いて、停留点を求めます。

* $3x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$

* $-3y^2 + 12 = 0 \implies y^2 = 4 \implies y = \pm 2$

したがって、停留点は $(1, 2), (1, -2), (-1, 2), (-1, -2)$ です。

3. 2階偏導関数を求めます。

* $f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 6x$

* $f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -6y$

* $f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 0$

4. 判別式 $D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2$ を計算し、各停留点における極値を判定します。

* $D = (6x)(-6y) - 0^2 = -36xy$

* $(1, 2)$: $D = -36(1)(2) = -72 < 0$. よって、 $(1, 2)$ は鞍点です。

* $(1, -2)$: $D = -36(1)(-2) = 72 > 0$, $f_{xx} = 6 > 0$. よって、 $(1, -2)$ は極小値を取ります。 極小値 $f(1,-2) = 1 - (-8) - 3 + 12(-2) = 1 + 8 - 3 - 24 = -18$

* $(-1, 2)$: $D = -36(-1)(2) = 72 > 0$, $f_{xx} = -6 < 0$. よって、 $(-1, 2)$ は極大値を取ります。 極大値 $f(-1,2) = -1 - 8 + 3 + 24 = 18$

* $(-1, -2)$: $D = -36(-1)(-2) = -72 < 0$. よって、 $(-1, -2)$ は鞍点です。

3. 最終的な答え

* 問1 (1)

* $f_{xx} = 6x$

* $f_{yy} = 12xy$

* $f_{xy} = 6y^2$

* $f_{yx} = 6y^2$

* 問2 (1)

* 極大値: $f(-1, 2) = 18$

* 極小値: $f(1, -2) = -18$

* 鞍点: $(1, 2)$, $(-1, -2)$