$\lim_{n \to \infty} \frac{x^{2n+1}}{1+x^{2n}} = x$ が成り立つような $x$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{n \to \infty} \frac{x^{2n+1}}{1+x^{2n}} = x$ が成り立つような $x$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x$ の値によって場合分けを行います。

(1) $|x| < 1$ のとき、$\lim_{n \to \infty} x^{2n} = 0$ なので、

$$\lim_{n \to \infty} \frac{x^{2n+1}}{1+x^{2n}} = \frac{0}{1+0} = 0$$

したがって、$0=x$ となり、$x=0$ が解の候補となります。$x=0$ は $|x|<1$ を満たします。

(2) $|x| = 1$ のとき、

$x=1$ のとき、

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1^{2n+1}}{1+1^{2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$$

これは $1=x$ と矛盾するので、$x=1$ は解ではありません。

$x=-1$ のとき、

$$\lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^{2n+1}}{1+(-1)^{2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{-1}{1+1} = -\frac{1}{2}$$

これは $-1=x$ と矛盾するので、$x=-1$ は解ではありません。

(3) $|x| > 1$ のとき、

$$\lim_{n \to \infty} \frac{x^{2n+1}}{1+x^{2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{2n+1}/x^{2n}}{(1/x^{2n})+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{x}{(1/x^{2n})+1} = \frac{x}{0+1} = x$$

したがって、$|x|>1$ のとき、与えられた式は常に成立します。

以上より、$x=0$ および $|x|>1$ のとき、与えられた式が成立します。

3. 最終的な答え

$x=0$ または $x<-1$ または $x>1$

すなわち、$x \in (-\infty, -1) \cup \{0\} \cup (1, \infty)$