以下の極限を求める問題です。 (2) $\lim_{x \to \infty} \cos \frac{1}{x}$ (3) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \tan x$

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

以下の極限を求める問題です。

(2) $\lim_{x \to \infty} \cos \frac{1}{x}$

(3) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \tan x$

2. 解き方の手順

(2) $\lim_{x \to \infty} \cos \frac{1}{x}$

$t = \frac{1}{x}$ とおくと、$x \to \infty$ のとき $t \to 0$ となります。したがって、

$\lim_{x \to \infty} \cos \frac{1}{x} = \lim_{t \to 0} \cos t$

$\cos t$ は $t=0$ で連続なので、

$\lim_{t \to 0} \cos t = \cos 0 = 1$

よって、$\lim_{x \to \infty} \cos \frac{1}{x} = 1$

(3) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \tan x$

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ であることを利用します。$x$ が $\frac{\pi}{2}$ に近づくとき、$\sin x$ は $1$ に近づき、$\cos x$ は $0$ に近づきます。

$x \to \frac{\pi}{2} - 0$ (左側から近づく) のとき、$\cos x > 0$ なので、$\tan x \to +\infty$

$x \to \frac{\pi}{2} + 0$ (右側から近づく) のとき、$\cos x < 0$ なので、$\tan x \to -\infty$

したがって、左側極限と右側極限が一致しないため、$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \tan x$ は存在しません。

3. 最終的な答え

(2) $\lim_{x \to \infty} \cos \frac{1}{x} = 1$

(3) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \tan x$ は存在しない