与えられた命題を、全称記号 $\forall$ や存在記号 $\exists$ などの論理記号を用いて表現します。ただし、否定の記号 $\neg$ は使用できません。 (1) 数列 $\{a_n\}$ は有界列でない。 (2) 数列 $\{a_n\}$ は収束列でない。 (3) $\mathbb{R}$ の部分集合 $A$ で定義された関数 $f: A \rightarrow \mathbb{R}$ は $A$ の点 $a$ で連続でない。

1. 問題の内容

与えられた命題を、全称記号 $\forall$ や存在記号 $\exists$ などの論理記号を用いて表現します。ただし、否定の記号 $\neg$ は使用できません。

(1) 数列 $\{a_n\}$ は有界列でない。

(2) 数列 $\{a_n\}$ は収束列でない。

(3) $\mathbb{R}$ の部分集合 $A$ で定義された関数 $f: A \rightarrow \mathbb{R}$ は $A$ の点 $a$ で連続でない。

2. 解き方の手順

それぞれの命題の否定を、論理記号を用いて表現します。

(1) 数列 $\{a_n\}$ が有界列であるとは、ある実数 $M > 0$ が存在して、すべての $n$ に対して $|a_n| \leq M$ が成り立つことです。したがって、「数列 $\{a_n\}$ は有界列でない」とは、そのような $M$ が存在しないことを意味します。すなわち、任意の $M > 0$ に対して、ある $n$ が存在して $|a_n| > M$ となることです。

(2) 数列 $\{a_n\}$ が収束列であるとは、ある実数 $\alpha$ が存在して、任意の $\epsilon > 0$ に対して、ある自然数 $N$ が存在して、$n > N$ ならば $|a_n - \alpha| < \epsilon$ が成り立つことです。したがって、「数列 $\{a_n\}$ は収束列でない」とは、そのような $\alpha$ が存在しないことを意味します。すなわち、任意の $\alpha$ に対して、ある $\epsilon > 0$ が存在して、任意の自然数 $N$ に対して、ある $n > N$ が存在して $|a_n - \alpha| \geq \epsilon$ となることです。

(3) 関数 $f: A \rightarrow \mathbb{R}$ が $A$ の点 $a$ で連続であるとは、任意の $\epsilon > 0$ に対して、ある $\delta > 0$ が存在して、$x \in A$ かつ $|x - a| < \delta$ ならば $|f(x) - f(a)| < \epsilon$ が成り立つことです。したがって、「関数 $f: A \rightarrow \mathbb{R}$ は $A$ の点 $a$ で連続でない」とは、ある $\epsilon > 0$ が存在して、任意の $\delta > 0$ に対して、ある $x \in A$ が存在して、$|x - a| < \delta$ かつ $|f(x) - f(a)| \geq \epsilon$ が成り立つことです。

3. 最終的な答え

(1) $\forall M > 0, \exists n \in \mathbb{N} \text{ s.t. } |a_n| > M$

(2) $\forall \alpha \in \mathbb{R}, \exists \epsilon > 0, \forall N \in \mathbb{N}, \exists n > N \text{ s.t. } |a_n - \alpha| \geq \epsilon$

(3) $\exists \epsilon > 0, \forall \delta > 0, \exists x \in A \text{ s.t. } |x - a| < \delta \text{ and } |f(x) - f(a)| \geq \epsilon$