$\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2 + 2x} + x)$ を求めます。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2 + 2x} + x)$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{x^2+2x} + x$ に $\frac{\sqrt{x^2+2x} - x}{\sqrt{x^2+2x} - x}$ をかけます。

$\sqrt{x^2+2x} + x = (\sqrt{x^2+2x} + x) \cdot \frac{\sqrt{x^2+2x} - x}{\sqrt{x^2+2x} - x} = \frac{(x^2 + 2x) - x^2}{\sqrt{x^2+2x} - x} = \frac{2x}{\sqrt{x^2+2x} - x}$

次に、$x$ を$-\infty$に近づけることを考慮して、$\sqrt{x^2}$ を $-x$ とします。

$\frac{2x}{\sqrt{x^2+2x} - x} = \frac{2x}{\sqrt{x^2(1+\frac{2}{x})} - x} = \frac{2x}{|x|\sqrt{1+\frac{2}{x}} - x}$

$x < 0$ のとき、$|x| = -x$なので

$\frac{2x}{-x\sqrt{1+\frac{2}{x}} - x} = \frac{2x}{-x(\sqrt{1+\frac{2}{x}} + 1)} = \frac{2}{-(\sqrt{1+\frac{2}{x}} + 1)}$

$x \to -\infty$ のとき、$\frac{2}{x} \to 0$となるので

$\lim_{x \to -\infty} \frac{2}{-(\sqrt{1+\frac{2}{x}} + 1)} = \frac{2}{-(\sqrt{1+0} + 1)} = \frac{2}{-(1+1)} = \frac{2}{-2} = -1$

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2 + 2x} + x) = -1$