$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 3x} - ax)$ が収束するような $a$ の値とそのときの極限値を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 3x} - ax)$ が収束するような $a$ の値とそのときの極限値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 3x} - ax)$ が収束するためには、$x \to \infty$ で $\sqrt{x^2 + 3x}$ と $ax$ のオーダーが同じである必要がある。つまり、$a$ は正の数である必要がある。

まず、$\sqrt{x^2 + 3x} - ax$ を有理化することを考える。

$\sqrt{x^2 + 3x} - ax = \frac{(\sqrt{x^2 + 3x} - ax)(\sqrt{x^2 + 3x} + ax)}{\sqrt{x^2 + 3x} + ax} = \frac{x^2 + 3x - a^2x^2}{\sqrt{x^2 + 3x} + ax} = \frac{(1-a^2)x^2 + 3x}{\sqrt{x^2 + 3x} + ax}$

ここで、$1-a^2 = 0$ である場合、$a = \pm 1$ となる。$a$ は正の数なので、$a=1$ である必要がある。

$a = 1$ のとき、

$\frac{(1-a^2)x^2 + 3x}{\sqrt{x^2 + 3x} + ax} = \frac{3x}{\sqrt{x^2 + 3x} + x} = \frac{3x}{x\sqrt{1 + \frac{3}{x}} + x} = \frac{3}{\sqrt{1 + \frac{3}{x}} + 1}$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \frac{3}{\sqrt{1 + \frac{3}{x}} + 1} = \frac{3}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \frac{3}{2}$

$a \neq 1$ のとき、$\frac{(1-a^2)x^2 + 3x}{\sqrt{x^2 + 3x} + ax} = \frac{(1-a^2) + \frac{3}{x}}{\sqrt{\frac{1}{x^2} + \frac{3}{x^3}} + \frac{a}{x}}x^2$

$x \to \infty$ のとき、この式は発散する。

ゆえに、$a = 1$ が必要である。

3. 最終的な答え

$a=1$ のとき、極限値は $\frac{3}{2}$ である。