$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 5x}$ を求めます。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 5x}$ を求めます。

2. 解き方の手順

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用します。

$\frac{\sin 2x}{\sin 5x}$ を以下のように変形します。

$\frac{\sin 2x}{\sin 5x} = \frac{\sin 2x}{2x} \cdot \frac{5x}{\sin 5x} \cdot \frac{2x}{5x}$

ここで、$x \to 0$ のとき、$2x \to 0$ かつ $5x \to 0$ です。したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} = 1$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x} = 1$

よって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 5x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{5x}{\sin 5x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{2x}{5x} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{5}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{5}$