以下の極限を求めます。 $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 2x + 3} - \sqrt{x^2 - 2x + 1})$

1. 問題の内容

以下の極限を求めます。

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 2x + 3} - \sqrt{x^2 - 2x + 1})$

2. 解き方の手順

極限を求めるために、まず、与えられた式を有理化します。

$\sqrt{x^2 + 2x + 3} - \sqrt{x^2 - 2x + 1}$ に $\frac{\sqrt{x^2 + 2x + 3} + \sqrt{x^2 - 2x + 1}}{\sqrt{x^2 + 2x + 3} + \sqrt{x^2 - 2x + 1}}$ をかけます。

$\frac{(\sqrt{x^2 + 2x + 3} - \sqrt{x^2 - 2x + 1})(\sqrt{x^2 + 2x + 3} + \sqrt{x^2 - 2x + 1})}{\sqrt{x^2 + 2x + 3} + \sqrt{x^2 - 2x + 1}}$

分子を展開すると、

$(x^2 + 2x + 3) - (x^2 - 2x + 1) = x^2 + 2x + 3 - x^2 + 2x - 1 = 4x + 2$

したがって、式は次のようになります。

$\frac{4x + 2}{\sqrt{x^2 + 2x + 3} + \sqrt{x^2 - 2x + 1}}$

$x$ を分母と分子からくくり出します。

$\frac{x(4 + \frac{2}{x})}{\sqrt{x^2(1 + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2})} + \sqrt{x^2(1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2})}} = \frac{x(4 + \frac{2}{x})}{|x|\sqrt{1 + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}} + |x|\sqrt{1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}}$

$x \to \infty$ のとき、$x$ は正なので $|x| = x$ となります。

$\frac{x(4 + \frac{2}{x})}{x\sqrt{1 + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}} + x\sqrt{1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}} = \frac{4 + \frac{2}{x}}{\sqrt{1 + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}} + \sqrt{1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}}$

ここで、$x \to \infty$ のときの極限を取ると、 $\frac{2}{x}$, $\frac{3}{x^2}$, $\frac{1}{x^2}$ は $0$ に近づきます。

$\lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{2}{x}}{\sqrt{1 + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}} + \sqrt{1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}} = \frac{4 + 0}{\sqrt{1 + 0 + 0} + \sqrt{1 - 0 + 0}} = \frac{4}{\sqrt{1} + \sqrt{1}} = \frac{4}{1 + 1} = \frac{4}{2} = 2$

3. 最終的な答え

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