関数 $y = \frac{1}{\log(x^2 + 1)}$ を微分しなさい。ここで、$\log$ は自然対数とします。

## 問題7

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{\log(x^2 + 1)}$ を微分しなさい。ここで、$\log$ は自然対数とします。

2. 解き方の手順

まず、$y = \frac{1}{\log(x^2 + 1)}$ を $y = (\log(x^2 + 1))^{-1}$ と書き換えます。

次に、合成関数の微分を行います。

外側の関数を $u^{-1}$、内側の関数を $u = \log(x^2 + 1)$ とします。

$y' = \frac{d}{dx} (\log(x^2 + 1))^{-1} = \frac{d}{du} (u^{-1}) \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{d}{du} (u^{-1}) = -u^{-2} = -\frac{1}{u^2} = -\frac{1}{(\log(x^2 + 1))^2}$

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (\log(x^2 + 1)) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot \frac{d}{dx} (x^2 + 1) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot (2x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$

したがって、

$y' = -\frac{1}{(\log(x^2 + 1))^2} \cdot \frac{2x}{x^2 + 1} = -\frac{2x}{(x^2 + 1) (\log(x^2 + 1))^2}$

3. 最終的な答え

$y' = -\frac{2x}{(x^2 + 1) (\log(x^2 + 1))^2}$

## 問題8

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{\log(1 - x^2)}{e^{2x}}$ を微分しなさい。ここで、$\log$ は自然対数とします。

2. 解き方の手順

商の微分公式を使います。

$y = \frac{u}{v}$ のとき、$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

$u = \log(1 - x^2)$, $v = e^{2x}$

$u' = \frac{1}{1 - x^2} \cdot \frac{d}{dx}(1 - x^2) = \frac{-2x}{1 - x^2}$

$v' = 2e^{2x}$

したがって、

$y' = \frac{\frac{-2x}{1 - x^2} \cdot e^{2x} - \log(1 - x^2) \cdot 2e^{2x}}{(e^{2x})^2}$

$y' = \frac{e^{2x} (\frac{-2x}{1 - x^2} - 2\log(1 - x^2))}{e^{4x}}$

$y' = \frac{\frac{-2x}{1 - x^2} - 2\log(1 - x^2)}{e^{2x}}$

$y' = \frac{-2x - 2(1-x^2)\log(1-x^2)}{(1 - x^2) e^{2x}}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{-2x - 2(1-x^2)\log(1-x^2)}{(1 - x^2) e^{2x}}$