与えられた関数 $f(x, y) = 288x^{1/4}y^{1/4} - 16x - 9y$ (ただし、$x, y > 0$) の極値を求めます。$f_x(x, y) = 0$ および $f_y(x, y) = 0$ を満たす解 $(x, y)$ が $(\alpha_1, \beta_1)$ および $(\alpha_2, \beta_2)$ として与えられています。ただし、$\alpha_1 = 27$, $\beta_1 = 48$ です。ヘッセ行列 $H(x, y)$ を用いて、点 $(\alpha_1, \beta_1)$ および $(\alpha_2, \beta_2)$ における極値を判定し、空欄を埋める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x, y) = 288x^{1/4}y^{1/4} - 16x - 9y$ (ただし、$x, y > 0$) の極値を求めます。$f_x(x, y) = 0$ および $f_y(x, y) = 0$ を満たす解 $(x, y)$ が $(\alpha_1, \beta_1)$ および $(\alpha_2, \beta_2)$ として与えられています。ただし、$\alpha_1 = 27$, $\beta_1 = 48$ です。ヘッセ行列 $H(x, y)$ を用いて、点 $(\alpha_1, \beta_1)$ および $(\alpha_2, \beta_2)$ における極値を判定し、空欄を埋める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f_x(x, y)$ と $f_y(x, y)$ を計算し、これらが 0 になる条件から $\alpha_2$ と $\beta_2$ を求めます。

$f_x = 288 \cdot \frac{1}{4}x^{-3/4}y^{1/4} - 16 = 72x^{-3/4}y^{1/4} - 16$

$f_y = 288 \cdot \frac{1}{4}x^{1/4}y^{-3/4} - 9 = 72x^{1/4}y^{-3/4} - 9$

$f_x = 0$ より、 $72x^{-3/4}y^{1/4} = 16$ すなわち $y^{1/4} = \frac{16}{72}x^{3/4} = \frac{2}{9}x^{3/4}$。

$f_y = 0$ より、 $72x^{1/4}y^{-3/4} = 9$ すなわち $x^{1/4} = \frac{9}{72}y^{3/4} = \frac{1}{8}y^{3/4}$。

これらの式をそれぞれ4乗すると、$y = (\frac{2}{9})^4 x^3 = \frac{16}{6561}x^3$ および $x = (\frac{1}{8})^4 y^3 = \frac{1}{4096}y^3$ となります。

$x = \frac{1}{4096}(\frac{16}{6561}x^3)^3 = \frac{1}{4096}\frac{16^3}{6561^3}x^9$

$1 = \frac{4096}{4096}\frac{16^3}{6561^3}x^8$ となるので、$x^8 = \frac{6561^3}{16^3 \cdot 4096} = (\frac{9^3}{2^4 \cdot 2^{12/8} })^4$

$x^8 = (\frac{9^3}{2^4 \cdot 2^{4.5} })^4$

$x=27$を代入すると、$y = \frac{16}{6561} (27)^3 = \frac{16}{6561} (3^3)^3 = \frac{16}{3^8} 3^9 = 16\cdot3=48$

$x = \frac{1}{4096} y^3$ を $y = \frac{16}{6561} x^3$に代入して、$y = \frac{16}{6561} (\frac{1}{4096} y^3)^3 = \frac{16}{6561} \frac{1}{4096^3} y^9$.

$1 = \frac{16}{6561} \frac{1}{4096^3} y^8$

$y^8 = \frac{6561 \cdot 4096^3}{16}$. よって、$y = 48$の場合、x=27。

次に、$\alpha_2$と$\beta_2$について考えます。 $x = (\frac{1}{8}y^{\frac{3}{4}})^4$ と $y = (\frac{2}{9}x^{\frac{3}{4}})^4$ 。

$x = (\frac{1}{8})^4 y^3$と $y = (\frac{2}{9})^4 x^3$を連立させます。

$f_{xx} = 72 \cdot (-\frac{3}{4})x^{-7/4}y^{1/4} = -54 x^{-7/4}y^{1/4}$

$f_{yy} = 72 \cdot (-\frac{3}{4})x^{1/4}y^{-7/4} = -54 x^{1/4}y^{-7/4}$

$f_{xy} = 72 \cdot \frac{1}{4}x^{-3/4}y^{-3/4} = 18 x^{-3/4}y^{-3/4}$

$(\alpha_1, \beta_1) = (27, 48)$ において、

$f_{xx}(27, 48) = -54 (27)^{-7/4}(48)^{1/4} = -54 (3^3)^{-7/4}(16 \cdot 3)^{1/4} = -54 \cdot 3^{-21/4} \cdot 2 \cdot 3^{1/4} = -108 \cdot 3^{-20/4} = -108 \cdot 3^{-5} = -108 / 243 = -4/9$

$H = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2$

$H(27, 48) = (-54)^2 x^{-3/2}y^{-3/2} - (18)^2 x^{-3/2}y^{-3/2} = x^{-3/2}y^{-3/2}(54^2 - 18^2)$

$= 2916 x^{-3/2}y^{-3/2} - 324 x^{-3/2}y^{-3/2}=2592(27)^{-3/2}(48)^{-3/2} = 2592\cdot (3^3)^{-3/2} (2^4\cdot 3)^{-3/2} = 2592(3)^{-9/2}(2)^{-6}(3)^{-3/2}=2592* 3^{-6}2^{-6} = 2592/(729*64)= 2592/46656 = 1/18$

次に、$f_x = 0, f_y = 0$ を解いて、$\alpha_2, \beta_2$を求めます。

$72x^{-3/4}y^{1/4} = 16$と$72x^{1/4}y^{-3/4} = 9$

$y^{1/4} = \frac{16}{72}x^{3/4} = \frac{2}{9}x^{3/4}$

$x^{1/4} = \frac{9}{72}y^{3/4} = \frac{1}{8}y^{3/4}$

$x = (1/8)^4 y^3 = \frac{1}{4096}y^3$

$y = (\frac{2}{9})^4 x^3 = \frac{16}{6561} x^3$

$\frac{y}{x} = \frac{(\frac{2}{9})^4 x^2}{(\frac{1}{8})^4 y^2} = (\frac{2}{9})^4/(\frac{1}{8})^4*(\frac{x}{y})^2$. よって$x=27,y=48$以外の解は0である。問題文よりx,y>0なので解無し？

$f_x = 0$と$f_y=0$は連立させて解くと$x=27$ $y=48$だけ。他に解はない？関数は$x, y>0$で定義されているから，$x, y = 0$は解として不適です。

しかし、問題には$(\alpha_2, \beta_2)$が存在すると書いてあるので、計算ミスがあるかもしれません。

偏微分をもう一度確認します。

$f_x = 72x^{-3/4}y^{1/4} - 16 = 0$

$f_y = 72x^{1/4}y^{-3/4} - 9 = 0$

$\frac{72x^{-3/4}y^{1/4}}{72x^{1/4}y^{-3/4}} = \frac{16}{9}$

$\frac{y}{x} = \frac{16}{9}$

$y = \frac{16}{9}x$

$72x^{1/4}(\frac{16}{9}x)^{-3/4} - 9 = 0$

$72x^{1/4}(\frac{9}{16})^{3/4}x^{-3/4} = 9$

$8 (\frac{9}{16})^{3/4} x^{-1/2} = 1$

$x^{-1/2} = \frac{1}{8}(\frac{16}{9})^{3/4}$

$x = 64 (\frac{9}{16})^{-3/2} = 64 (\frac{3}{4})^{-3} = 64 \frac{64}{27} = \frac{4096}{27}$

$y = \frac{16}{9} (\frac{4096}{27}) = \frac{65536}{243}$

よって、$(\alpha_2, \beta_2) = (\frac{4096}{27}, \frac{65536}{243})$

$f_{xx} = -54 x^{-7/4}y^{1/4}$

$f_{xx}(\alpha_2, \beta_2) = -54 (\frac{4096}{27})^{-7/4} (\frac{65536}{243})^{1/4} = -54 (\frac{2^{12}}{3^3})^{-7/4} (\frac{2^{16}}{3^5})^{1/4} = -54(2^{12}/3^3)^{-7/4}(2^{16}/3^5)^{1/4} = -54 \frac{3^{21/4}}{2^{21}} \frac{2^4}{3^{5/4}} = -54 \cdot \frac{3^4}{2^{17}} = -54 \cdot \frac{81}{131072} = - \frac{4374}{131072} = -\frac{2187}{65536}$

$\alpha_2 = 4096/27, \beta_2=65536/243$

$H = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2$

$f_{xx} = -54x^{-7/4}y^{1/4}$

$f_{yy} = -54x^{1/4}y^{-7/4}$

$f_{xy} = 18 x^{-3/4}y^{-3/4}$

$H = 2916x^{-3/2}y^{-3/2} - 324x^{-3/2}y^{-3/2} = 2592 x^{-3/2}y^{-3/2}$

$H(\alpha_2,\beta_2) = 2592 (\frac{4096}{27})^{-3/2} (\frac{65536}{243})^{-3/2} = 2592(4096/27)^{-3/2}(65536/243)^{-3/2}=2592 \frac{3^{9/2}3^{15/2}}{2^{18}2^{24}}= 2592 3^{12} 2^{-42} = 2^5 3^4*3^{12} 2^{-42} = 3^{16}/2^{37}$. 計算が複雑すぎるので、ヘッセ行列の判定が難航しています。

3. 最終的な答え

$\alpha_2 = 4096/27$

$\beta_2 = 65536/243$

$f_{xx}(\alpha_2,\beta_2) = -2187/65536$

$H(\alpha_2, \beta_2) = 3^{16}/2^{37}$

点 $(\alpha_1, \beta_1)$ において、$f_{xx}(\alpha_1, \beta_1) = -4/9 < 0$ であり、$|H(\alpha_1, \beta_1)| = 1/18 > 0$ なので、ヘッセ行列は正定値ではないが、$f_{xx}<0$から極大となる。

点 $(\alpha_2, \beta_2)$ において、$f_{xx}(\alpha_2, \beta_2) = -2187/65536 < 0$ であり、$H(\alpha_2, \beta_2) = 3^{16}/2^{37} > 0$ なので、ヘッセ行列は正定値ではないが、$f_{xx}<0$から極大となる。

ヘッセ行列が正の値をとるので極値をとる。

最終解答：

$\alpha_2 = 4096/27$

$\beta_2 = 65536/243$

$f_{xx}(\alpha_2, \beta_2) = -2187/65536$

$H(\alpha_2, \beta_2) = 3^{16}/2^{37}$

ヘッセ行列は正の値であるから極大となる。

ヘッセ行列は正の値であるから極大となる。