関数 $y = 2(\sin x + \cos x) + \sin 2x - 1$ の $0 \le x \le \pi$ における最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = 2(\sin x + \cos x) + \sin 2x - 1$ の $0 \le x \le \pi$ における最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$t = \sin x + \cos x$ とおく。

$t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + 2 \sin x \cos x = 1 + \sin 2x$

よって、 $\sin 2x = t^2 - 1$

したがって、$y = 2t + t^2 - 1 - 1 = t^2 + 2t - 2$ となる。

次に、$t$ の取りうる値の範囲を求める。

$t = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin (x + \frac{\pi}{4})$

$0 \le x \le \pi$ より $\frac{\pi}{4} \le x + \frac{\pi}{4} \le \frac{5\pi}{4}$

したがって、$-\frac{1}{\sqrt{2}} \le \sin (x + \frac{\pi}{4}) \le 1$

よって、$-1 \le t \le \sqrt{2}$

$y = t^2 + 2t - 2 = (t+1)^2 - 3$

$-1 \le t \le \sqrt{2}$ における $y$ の最大値と最小値を考える。

$y$ は $t=-1$ で最小値 $-3$ をとり、$t=\sqrt{2}$ で最大値 $(\sqrt{2}+1)^2 - 3 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 - 3 = 2\sqrt{2}$ をとる。

3. 最終的な答え

最大値 $2\sqrt{2}$, 最小値 $-3$