次の定積分を求めます。 (1) $\int_{e}^{e^2} \frac{1}{x(\log x)^3} dx$ (2) $\int_{11}^{14} \frac{x}{\sqrt{x-10}} dx$

1. 問題の内容

次の定積分を求めます。

(1) $\int_{e}^{e^2} \frac{1}{x(\log x)^3} dx$

(2) $\int_{11}^{14} \frac{x}{\sqrt{x-10}} dx$

2. 解き方の手順

(1) 置換積分を用います。$t = \log x$ とすると、$dt = \frac{1}{x} dx$ となります。

積分範囲も変更します。$x=e$ のとき $t = \log e = 1$、$x=e^2$ のとき $t = \log e^2 = 2$ となります。

したがって、

$\int_{e}^{e^2} \frac{1}{x(\log x)^3} dx = \int_{1}^{2} \frac{1}{t^3} dt = \int_{1}^{2} t^{-3} dt = \left[ \frac{t^{-2}}{-2} \right]_{1}^{2} = \left[ -\frac{1}{2t^2} \right]_{1}^{2} = -\frac{1}{2(2^2)} - \left( -\frac{1}{2(1^2)} \right) = -\frac{1}{8} + \frac{1}{2} = \frac{-1+4}{8} = \frac{3}{8}$

(2) 置換積分を用います。$t = \sqrt{x-10}$ とすると、$t^2 = x-10$ より、$x = t^2 + 10$、$dx = 2t dt$ となります。

積分範囲も変更します。$x=11$ のとき $t = \sqrt{11-10} = \sqrt{1} = 1$、$x=14$ のとき $t = \sqrt{14-10} = \sqrt{4} = 2$ となります。

したがって、

$\int_{11}^{14} \frac{x}{\sqrt{x-10}} dx = \int_{1}^{2} \frac{t^2+10}{t} 2t dt = \int_{1}^{2} 2(t^2+10) dt = 2 \int_{1}^{2} (t^2+10) dt = 2 \left[ \frac{t^3}{3} + 10t \right]_{1}^{2} = 2 \left[ \left(\frac{2^3}{3} + 10(2)\right) - \left(\frac{1^3}{3} + 10(1)\right) \right] = 2 \left[ \left(\frac{8}{3} + 20\right) - \left(\frac{1}{3} + 10\right) \right] = 2 \left[ \frac{8}{3} + 20 - \frac{1}{3} - 10 \right] = 2 \left[ \frac{7}{3} + 10 \right] = 2 \left[ \frac{7+30}{3} \right] = 2 \left[ \frac{37}{3} \right] = \frac{74}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3}{8}$

(2) $\frac{74}{3}$