関数 $y = \sin^2 x + 2\sqrt{3} \sin x \cos x + 3 \cos^2 x$ の最大値と最小値を求める問題です。ただし、$\sin x - \sqrt{3} \cos x \le -1$ という条件があります。

1. 問題の内容

関数 $y = \sin^2 x + 2\sqrt{3} \sin x \cos x + 3 \cos^2 x$ の最大値と最小値を求める問題です。ただし、$\sin x - \sqrt{3} \cos x \le -1$ という条件があります。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を変形します。三角関数の2倍角の公式 $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$、$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$、$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$、$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ を用います。

$y = \frac{1 - \cos 2x}{2} + \sqrt{3} \sin 2x + 3 \cdot \frac{1 + \cos 2x}{2}$

$y = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2x + \sqrt{3} \sin 2x + \frac{3}{2} + \frac{3}{2} \cos 2x$

$y = 2 + \cos 2x + \sqrt{3} \sin 2x$

次に、三角関数の合成を行います。

$y = 2 + 2 \sin(2x + \frac{\pi}{6})$

次に、条件 $\sin x - \sqrt{3} \cos x \le -1$ を変形します。

$2 \sin(x - \frac{\pi}{3}) \le -1$

$\sin(x - \frac{\pi}{3}) \le -\frac{1}{2}$

$-\frac{5\pi}{6} + 2n\pi \le x - \frac{\pi}{3} \le -\frac{\pi}{6} + 2n\pi$

$-\frac{\pi}{2} + 2n\pi \le x \le \frac{\pi}{6} + 2n\pi$

$2x$ の範囲は、

$-\pi + 4n\pi \le 2x \le \frac{\pi}{3} + 4n\pi$

$2x + \frac{\pi}{6}$ の範囲は、

$-\frac{5\pi}{6} + 4n\pi \le 2x + \frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{2} + 4n\pi$

したがって、$\sin(2x + \frac{\pi}{6})$ は $-1$ から $1$ までの値をとりうるので、$-\frac{5\pi}{6} \le 2x + \frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{2}$ の範囲における $\sin(2x + \frac{\pi}{6})$ の最大値は $1$、最小値は $-1$です。

$y$ の最大値は $2 + 2 \times 1 = 4$

$y$ の最小値は $2 + 2 \times (-1) = 0$

3. 最終的な答え

最大値: 4

最小値: 0