与えられた関数 $f(x, y) = 288x^{1/4}y^{1/4} - 16x - 9y$ の極値を求める問題です。関数 $f(x, y)$ の偏導関数 $f_x(x, y)$ と $f_y(x, y)$ がともに0となる点 $(x, y) = (\alpha_1, \beta_1), (\alpha_2, \beta_2)$ が与えられています。このうち、$(\alpha_1, \beta_1) = (27, 48)$のとき、$f_{xx}(\alpha_1, \beta_1) = -4/9$、$|H(\alpha_1, \beta_1)| = 1/18$ が与えられており、ヘッセ行列が負定値であることから極大点であることがわかっています。$(\alpha_2, \beta_2)$のときの $f_{xx}(\alpha_2, \beta_2)$、$|H(\alpha_2, \beta_2)|$ およびヘッセ行列の正定値、負定値、不定値、半正定値、半負定値のうちいずれであるかを求め、極値の種類を判定します。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x, y) = 288x^{1/4}y^{1/4} - 16x - 9y$ の極値を求める問題です。関数 $f(x, y)$ の偏導関数 $f_x(x, y)$ と $f_y(x, y)$ がともに0となる点 $(x, y) = (\alpha_1, \beta_1), (\alpha_2, \beta_2)$ が与えられています。このうち、$(\alpha_1, \beta_1) = (27, 48)$のとき、$f_{xx}(\alpha_1, \beta_1) = -4/9$、$|H(\alpha_1, \beta_1)| = 1/18$ が与えられており、ヘッセ行列が負定値であることから極大点であることがわかっています。$(\alpha_2, \beta_2)$のときの $f_{xx}(\alpha_2, \beta_2)$、$|H(\alpha_2, \beta_2)|$ およびヘッセ行列の正定値、負定値、不定値、半正定値、半負定値のうちいずれであるかを求め、極値の種類を判定します。

2. 解き方の手順

まず、$f_x(x, y) = 0$ と $f_y(x, y) = 0$ を解いて $(\alpha_2, \beta_2)$ を求めます。

$f_x(x, y) = 288 \cdot (1/4) x^{-3/4} y^{1/4} - 16 = 72 x^{-3/4} y^{1/4} - 16 = 0$

$f_y(x, y) = 288 \cdot (1/4) x^{1/4} y^{-3/4} - 9 = 72 x^{1/4} y^{-3/4} - 9 = 0$

これらの式から、

$72 x^{-3/4} y^{1/4} = 16$

$72 x^{1/4} y^{-3/4} = 9$

両辺を割ると、

$\frac{y}{x} = \frac{16}{9}$

$y = \frac{16}{9} x$

これを $72 x^{1/4} y^{-3/4} = 9$ に代入すると、

$72 x^{1/4} (\frac{16}{9} x)^{-3/4} = 9$

$72 x^{1/4} (\frac{9}{16})^{3/4} x^{-3/4} = 9$

$72 (\frac{9}{16})^{3/4} x^{-1/2} = 9$

$8 (\frac{9}{16})^{3/4} x^{-1/2} = 1$

$x^{-1/2} = \frac{1}{8} (\frac{16}{9})^{3/4} = \frac{1}{8} \frac{16^{3/4}}{9^{3/4}} = \frac{1}{8} \frac{8}{3^{3/2}} = \frac{1}{3\sqrt{3}}$

$x^{1/2} = 3\sqrt{3} = 3^{3/2}$

$x = (3^{3/2})^2 = 3^3 = 27$

この結果は $(\alpha_1, \beta_1)$ と同じなので間違いです。

正しくは、最初の式から

$y^{1/4} = \frac{16}{72} x^{3/4} = \frac{2}{9} x^{3/4}$

これを $72 x^{1/4} y^{-3/4} = 9$ に代入すると、

$72 x^{1/4} (\frac{2}{9} x^{3/4})^{-3} = 9$

$72 x^{1/4} (\frac{9}{2})^3 x^{-9/4} = 9$

$72 (\frac{9}{2})^3 x^{-8/4} = 9$

$8 (\frac{9}{2})^3 x^{-2} = 1$

$x^2 = 8 (\frac{9}{2})^3 = 8 \cdot \frac{729}{8} = 729$

$x = \sqrt{729} = 27$

$y = \frac{9}{72} x^{3/4} = \frac{1}{8} x^{3/4}$

二番目の式から

$x^{1/4} = \frac{9}{72} y^{3/4} = \frac{1}{8} y^{3/4}$

これを $72 x^{-3/4} y^{1/4} = 16$ に代入すると、

$72 (\frac{1}{8} y^{3/4})^{-3} y^{1/4} = 16$

$72 (8^3) y^{-9/4} y^{1/4} = 16$

$72 \cdot 512 y^{-2} = 16$

$4608 y^{-2} = 16$

$y^2 = \frac{4608}{16} = 288$

$y = \sqrt{288} = 12\sqrt{2}$

$y = \frac{16}{9} x$ を $72x^{1/4}y^{-3/4} = 9$ に代入すると、

$\frac{y}{x} = \frac{16}{9} \implies x = \frac{9y}{16}$

$\implies 72(\frac{9y}{16})^{1/4} y^{-3/4} = 9 \implies 8(\frac{9}{16})^{1/4} (\frac{y}{y^3})^{1/4}= 1 \implies 8(\frac{9}{16})^{1/4} y^{-1/2}=1 \implies y^{-1/2} = \frac{1}{8}(\frac{16}{9})^{1/4} \implies y = 64(\frac{9}{16})^{1/2} = 64 * \frac{3}{4} = 48$

$x = \frac{9 * 48}{16} = 27$

$(\alpha_2, \beta_2)$ が存在しないようです。

$f_x(x,y)= 72x^{-3/4}y^{1/4} - 16 = 0 \rightarrow y^{1/4} = \frac{16}{72}x^{3/4} = \frac{2}{9} x^{3/4}$.

$f_y(x,y)= 72x^{1/4}y^{-3/4} - 9 = 0 \rightarrow x^{1/4} = \frac{9}{72}y^{3/4} = \frac{1}{8} y^{3/4}$.

Hence, $x^{1/4}= \frac{1}{8} (\frac{2}{9} x^{3/4})^3 = \frac{1}{8} \cdot \frac{8}{729}x^{9/4} = \frac{1}{729} x^{9/4} \implies x^2= 729 \implies x = 27$.

Since $y = \frac{16}{9} x = \frac{16}{9} (27) = 48$,

よって、 $(\alpha_2, \beta_2)$ は存在しないので、問題に誤りがあると思われます。ヘッセ行列と$f_{xx}$の値を計算できません。

3. 最終的な答え

$(\alpha_2, \beta_2)$：存在しない

$f_{xx}(\alpha_2, \beta_2)$：計算不能

$|H(\alpha_2, \beta_2)|$：計算不能

ヘッセ行列：計算不能