与えられた関数 $f(x, y) = 288x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{4}} - 16x - 9y$ の極値を求める。まず、$f_x(x, y) = 0$ と $f_y(x, y) = 0$ を満たす点 $(x, y) = (\alpha_1, \beta_1)$ と $(\alpha_2, \beta_2)$ を求め、次にそれぞれの点におけるヘッセ行列を計算し、極値判定を行う。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x, y) = 288x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{4}} - 16x - 9y$ の極値を求める。まず、$f_x(x, y) = 0$ と $f_y(x, y) = 0$ を満たす点 $(x, y) = (\alpha_1, \beta_1)$ と $(\alpha_2, \beta_2)$ を求め、次にそれぞれの点におけるヘッセ行列を計算し、極値判定を行う。

2. 解き方の手順

まず、$f_x(x, y)$ と $f_y(x, y)$ を計算する。

$f_x(x, y) = \frac{\partial f}{\partial x} = 288 \cdot \frac{1}{4} x^{-\frac{3}{4}} y^{\frac{1}{4}} - 16 = 72 x^{-\frac{3}{4}} y^{\frac{1}{4}} - 16$

$f_y(x, y) = \frac{\partial f}{\partial y} = 288 \cdot \frac{1}{4} x^{\frac{1}{4}} y^{-\frac{3}{4}} - 9 = 72 x^{\frac{1}{4}} y^{-\frac{3}{4}} - 9$

次に、$f_x(x, y) = 0$ と $f_y(x, y) = 0$ を解く。

$72 x^{-\frac{3}{4}} y^{\frac{1}{4}} = 16$ より $x^{-\frac{3}{4}} y^{\frac{1}{4}} = \frac{16}{72} = \frac{2}{9}$

$72 x^{\frac{1}{4}} y^{-\frac{3}{4}} = 9$ より $x^{\frac{1}{4}} y^{-\frac{3}{4}} = \frac{9}{72} = \frac{1}{8}$

これら2つの式から $x$ と $y$ を求める。

$x^{-\frac{3}{4}} y^{\frac{1}{4}} = \frac{2}{9}$ より $y^{\frac{1}{4}} = \frac{2}{9} x^{\frac{3}{4}}$

$x^{\frac{1}{4}} y^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{8}$ より $y^{\frac{3}{4}} = 8 x^{\frac{1}{4}}$

$\left( \frac{2}{9} x^{\frac{3}{4}} \right)^3 = 8 x^{\frac{1}{4}}$

$\frac{8}{729} x^{\frac{9}{4}} = 8 x^{\frac{1}{4}}$

$x^{\frac{9}{4}} = 729 x^{\frac{1}{4}}$

$x^{\frac{8}{4}} = x^2 = 729$

$x = \sqrt{729} = 27$

$y^{\frac{1}{4}} = \frac{2}{9} (27)^{\frac{3}{4}} = \frac{2}{9} (3^3)^{\frac{3}{4}} = \frac{2}{9} 3^{\frac{9}{4}}$

$y = \left( \frac{2}{9} (27)^{\frac{3}{4}} \right)^4 = \frac{16}{6561} (27)^3 = \frac{16}{6561} (3^3)^3 = \frac{16}{6561} 3^9 = \frac{16}{3^8} 3^9 = 16 \cdot 3 = 48$

よって、$(\alpha_1, \beta_1) = (27, 48)$. $(\alpha_2, \beta_2)$も同様に計算すると、同じ値になります。

次に、ヘッセ行列 $H(x, y)$ を計算する。

$f_{xx}(x, y) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 72 \cdot (-\frac{3}{4}) x^{-\frac{7}{4}} y^{\frac{1}{4}} = -54 x^{-\frac{7}{4}} y^{\frac{1}{4}}$

$f_{yy}(x, y) = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 72 \cdot (-\frac{3}{4}) x^{\frac{1}{4}} y^{-\frac{7}{4}} = -54 x^{\frac{1}{4}} y^{-\frac{7}{4}}$

$f_{xy}(x, y) = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 72 \cdot \frac{1}{4} x^{-\frac{3}{4}} y^{-\frac{3}{4}} = 18 x^{-\frac{3}{4}} y^{-\frac{3}{4}}$

ヘッセ行列 $H(x, y) = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{xy} & f_{yy} \end{pmatrix}$

$f_{xx}(27, 48) = -54 (27)^{-\frac{7}{4}} (48)^{\frac{1}{4}} = -54 (3^3)^{-\frac{7}{4}} (16\cdot3)^{\frac{1}{4}} = -54 (3^{-\frac{21}{4}}) 2 (3^{\frac{1}{4}}) = -108 (3^{-\frac{20}{4}}) = -108 (3^{-5}) = -108 / 243 = -4/9$

$H(27, 48) = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2$

$H(27, 48) = \left(-54 (27)^{-\frac{7}{4}} (48)^{\frac{1}{4}}\right)\left(-54 (27)^{\frac{1}{4}} (48)^{-\frac{7}{4}}\right) - \left(18 (27)^{-\frac{3}{4}} (48)^{-\frac{3}{4}}\right)^2 = 2916 (27)^{-\frac{6}{4}} (48)^{-\frac{6}{4}} - 324 (27)^{-\frac{6}{4}} (48)^{-\frac{6}{4}}= 2592 (27)^{-\frac{3}{2}} (48)^{-\frac{3}{2}} = 2592 \frac{1}{(27\cdot48)^{3/2}} = 2592 \frac{1}{ (3^3\cdot 3 \cdot 16)^{3/2}} = 2592 \frac{1}{(3^4 2^4)^{3/2}} = 2592 \frac{1}{(3^6 2^6)} = 2592 \frac{1}{729 \cdot 64} = \frac{2592}{46656} = \frac{1}{18}$

3. 最終的な答え

$\alpha_1 = 27$

$\beta_1 = 48$

$\alpha_2 = 27$

$\beta_2 = 48$

$f_{xx}(27, 48) = -\frac{4}{9}$

$|H(27, 48)| = \frac{1}{18}$

ヘッセ行列は正定値であるため、極小値となる。