関数 $f(x, y) = 288x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{4}} - 16x - 9y$ の極値を求める問題です。 $f_x(x,y) = f_y(x,y) = 0$ の解 $(x, y)$ は $(\alpha_1, \beta_1) = (27, 48)$ と $(\alpha_2, \beta_2) = (27, 48)$ です。 ヘッセ行列 $H(x, y)$ を用いて、$(x, y) = (\alpha_2, \beta_2)$ のときの $f_{xx}(\alpha_2, \beta_2)$ と $H(\alpha_2, \beta_2)$ の値を求め、ヘッセ行列が正定値であるか負定値であるか判定し、極大点か極小点かを判定します。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = 288x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{4}} - 16x - 9y$ の極値を求める問題です。

$f_x(x,y) = f_y(x,y) = 0$ の解 $(x, y)$ は $(\alpha_1, \beta_1) = (27, 48)$ と $(\alpha_2, \beta_2) = (27, 48)$ です。

ヘッセ行列 $H(x, y)$ を用いて、$(x, y) = (\alpha_2, \beta_2)$ のときの $f_{xx}(\alpha_2, \beta_2)$ と $H(\alpha_2, \beta_2)$ の値を求め、ヘッセ行列が正定値であるか負定値であるか判定し、極大点か極小点かを判定します。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $f(x, y)$ の二階偏導関数を計算します。

$f(x, y) = 288x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{4}} - 16x - 9y$

$f_x = 288 \cdot \frac{1}{4} x^{-\frac{3}{4}} y^{\frac{1}{4}} - 16 = 72x^{-\frac{3}{4}} y^{\frac{1}{4}} - 16$

$f_y = 288 \cdot \frac{1}{4} x^{\frac{1}{4}} y^{-\frac{3}{4}} - 9 = 72x^{\frac{1}{4}} y^{-\frac{3}{4}} - 9$

$f_{xx} = 72 \cdot (-\frac{3}{4}) x^{-\frac{7}{4}} y^{\frac{1}{4}} = -54x^{-\frac{7}{4}} y^{\frac{1}{4}}$

$f_{yy} = 72 \cdot (-\frac{3}{4}) x^{\frac{1}{4}} y^{-\frac{7}{4}} = -54x^{\frac{1}{4}} y^{-\frac{7}{4}}$

$f_{xy} = 72 \cdot \frac{1}{4} x^{-\frac{3}{4}} y^{-\frac{3}{4}} = 18x^{-\frac{3}{4}} y^{-\frac{3}{4}}$

$f_{yx} = 18x^{-\frac{3}{4}} y^{-\frac{3}{4}}$

$(\alpha_2, \beta_2) = (27, 48)$ のとき

$f_{xx}(27, 48) = -54 (27)^{-\frac{7}{4}} (48)^{\frac{1}{4}}$

$= -54 (3^3)^{-\frac{7}{4}} (16 \cdot 3)^{\frac{1}{4}}$

$= -54 \cdot 3^{-\frac{21}{4}} \cdot 2 \cdot 3^{\frac{1}{4}}$

$= -108 \cdot 3^{-\frac{20}{4}} = -108 \cdot 3^{-5} = -108 \cdot \frac{1}{243} = -\frac{108}{243} = -\frac{4}{9}$

$f_{yy}(27, 48) = -54 (27)^{\frac{1}{4}} (48)^{-\frac{7}{4}}$

$= -54 (3^3)^{\frac{1}{4}} (16 \cdot 3)^{-\frac{7}{4}}$

$= -54 \cdot 3^{\frac{3}{4}} \cdot 2^{-7} \cdot 3^{-\frac{7}{4}}$

$= -54 \cdot 2^{-7} \cdot 3^{-\frac{4}{4}} = -54 \cdot \frac{1}{128} \cdot \frac{1}{3} = -\frac{54}{384} = -\frac{9}{64}$

$f_{xy}(27, 48) = 18 (27)^{-\frac{3}{4}} (48)^{-\frac{3}{4}}$

$= 18 (3^3)^{-\frac{3}{4}} (16 \cdot 3)^{-\frac{3}{4}}$

$= 18 \cdot 3^{-\frac{9}{4}} \cdot 2^{-3} \cdot 3^{-\frac{3}{4}} = 18 \cdot 2^{-3} \cdot 3^{-\frac{12}{4}} = 18 \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{27} = \frac{18}{216} = \frac{1}{12}$

ヘッセ行列 $H(x, y)$ は以下の通りです。

$H(x, y) = \begin{vmatrix}

f_{xx} & f_{xy} \\

f_{yx} & f_{yy}

\end{vmatrix} = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2$

$H(27, 48) = (-\frac{4}{9}) (-\frac{9}{64}) - (\frac{1}{12})^2 = \frac{36}{576} - \frac{1}{144} = \frac{1}{16} - \frac{1}{144} = \frac{9-1}{144} = \frac{8}{144} = \frac{1}{18}$

$f_{xx}(27, 48) = -\frac{4}{9} < 0$

$H(27, 48) = \frac{1}{18} > 0$

したがって、$f(x, y)$ は $(27, 48)$ で極大値を取ります。また、ヘッセ行列は負定値です。

3. 最終的な答え

$f_{xx}(\alpha_2, \beta_2) = -\frac{4}{9}$

$H(\alpha_2, \beta_2) = \frac{1}{18}$

ヘッセ行列は負定値であるから極大点となる。