与えられた数列や関数の性質（有界列である、収束列である、部分列である、連続である）について、集合の記号や論理記号を用いて定義を記述する。

1. 問題の内容

与えられた数列や関数の性質（有界列である、収束列である、部分列である、連続である）について、集合の記号や論理記号を用いて定義を記述する。

2. 解き方の手順

(1) 数列$\{a_n\}$が有界列であるとは、ある正の実数$M$が存在して、全ての自然数$n$に対して$|a_n| \le M$が成り立つことである。これを論理記号で表現する。

(2) 数列$\{a_n\}$が収束列であるとは、ある実数$\alpha$が存在して、任意の正の数$\epsilon$に対して、ある自然数$N$が存在し、$n \ge N$ならば$|a_n - \alpha| < \epsilon$が成り立つことである。これを論理記号で表現する。

(3) 数列$\{a_{i_k}\}$が数列$\{a_n\}$の部分列であるとは、$i_k$が狭義単調増加な自然数列であり、$k$を自然数とするときに、$a_{i_k}$で表される数列である。

(4) 関数$f: A \rightarrow \mathbb{R}$が$A$の点$a$で連続であるとは、任意の正の数$\epsilon$に対して、ある正の数$\delta$が存在し、$x \in A$かつ$|x - a| < \delta$ならば$|f(x) - f(a)| < \epsilon$が成り立つことである。これを論理記号で表現する。

3. 最終的な答え

(1) 数列$\{a_n\}$が有界列である。

$\exists M > 0, \forall n \in \mathbb{N}, |a_n| \le M$

(2) 数列$\{a_n\}$が収束列である。

$\exists \alpha \in \mathbb{R}, \forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \in \mathbb{N}, (n \ge N \implies |a_n - \alpha| < \epsilon)$

(3) 数列$\{a_{i_k}\}$が数列$\{a_n\}$の部分列である。

$\{i_k\}_{k=1}^{\infty}$ が狭義単調増加な自然数列である。

(4) 関数$f: A \rightarrow \mathbb{R}$が$A$の点$a$で連続である。

$\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x \in A, (|x - a| < \delta \implies |f(x) - f(a)| < \epsilon)$