関数 $y = \frac{1}{\log(x^2 + 1)}$ を微分せよ。

はい、承知いたしました。画像にある問題のうち、(7)と(8)の問題を解きます。

**問題 (7)**

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{\log(x^2 + 1)}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

まず、$y = \frac{1}{\log(x^2+1)}$ を $y = (\log(x^2+1))^{-1}$ と書き換えます。

次に、合成関数の微分法を用います。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

ここで、$u = \log(x^2+1)$ とおくと、$y = u^{-1}$ となります。

したがって、$\frac{dy}{du} = -u^{-2} = -\frac{1}{u^2} = -\frac{1}{(\log(x^2+1))^2}$

次に、$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} \log(x^2+1)$ を計算します。

$v = x^2+1$ とおくと、$u = \log v$ となり、$\frac{du}{dv} = \frac{1}{v} = \frac{1}{x^2+1}$

また、$\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx} (x^2+1) = 2x$

したがって、$\frac{du}{dx} = \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx} = \frac{1}{x^2+1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2+1}$

よって、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = -\frac{1}{(\log(x^2+1))^2} \cdot \frac{2x}{x^2+1} = -\frac{2x}{(x^2+1)(\log(x^2+1))^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{(x^2+1)(\log(x^2+1))^2}$

**問題 (8)**

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{\log(1-x^2)}{e^{2x}}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

商の微分法を用います。$\frac{d}{dx} \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}$

ここで、$f(x) = \log(1-x^2)$ および $g(x) = e^{2x}$ とおきます。

まず、$f'(x)$ を計算します。

$u = 1-x^2$ とおくと、$f(x) = \log u$ となり、$\frac{df}{du} = \frac{1}{u} = \frac{1}{1-x^2}$

また、$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (1-x^2) = -2x$

したがって、$f'(x) = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{1-x^2} \cdot (-2x) = \frac{-2x}{1-x^2}$

次に、$g'(x)$ を計算します。

$g(x) = e^{2x}$ より、$g'(x) = 2e^{2x}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2} = \frac{\frac{-2x}{1-x^2}e^{2x} - \log(1-x^2) \cdot 2e^{2x}}{(e^{2x})^2}$

$= \frac{e^{2x} \left( \frac{-2x}{1-x^2} - 2 \log(1-x^2) \right)}{e^{4x}}$

$= \frac{\frac{-2x}{1-x^2} - 2 \log(1-x^2)}{e^{2x}} = \frac{-2x - 2(1-x^2) \log(1-x^2)}{(1-x^2)e^{2x}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{-2x - 2(1-x^2) \log(1-x^2)}{(1-x^2)e^{2x}}$