$0 \le \theta < 2\pi$ とする。座標平面上の3点 O(0, 0), P($\cos\theta$, $\sin\theta$), Q(1, $3\sin 2\theta$) が三角形をなすとき、$\triangle$OPQ の面積の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ とする。座標平面上の3点 O(0, 0), P($\cos\theta$, $\sin\theta$), Q(1, $3\sin 2\theta$) が三角形をなすとき、$\triangle$OPQ の面積の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle$OPQ の面積を求める。3点 O(0, 0), P($\cos\theta$, $\sin\theta$), Q(1, $3\sin 2\theta$) を持つ三角形の面積 S は、以下の公式で求められる。

$S = \frac{1}{2} |(\cos\theta)(3\sin 2\theta) - (\sin\theta)(1)|$

次に、これを整理する。

$S = \frac{1}{2} |3\cos\theta(2\sin\theta\cos\theta) - \sin\theta| = \frac{1}{2} |6\sin\theta\cos^2\theta - \sin\theta|$

$\sin\theta$ でくくると、

$S = \frac{1}{2} |\sin\theta(6\cos^2\theta - 1)| = \frac{1}{2} |\sin\theta(6(1 - \sin^2\theta) - 1)|$

$S = \frac{1}{2} |\sin\theta(6 - 6\sin^2\theta - 1)| = \frac{1}{2} |\sin\theta(5 - 6\sin^2\theta)|$

$t = \sin\theta$ とおくと、$-1 \le t \le 1$ となる。このとき、面積 S は

$S = \frac{1}{2} |t(5 - 6t^2)| = \frac{1}{2} |5t - 6t^3|$

関数 $f(t) = 5t - 6t^3$ の $-1 \le t \le 1$ における最大値を求める。

$f'(t) = 5 - 18t^2$

$f'(t) = 0$ となるのは $t^2 = \frac{5}{18}$, つまり $t = \pm \sqrt{\frac{5}{18}} = \pm \frac{\sqrt{10}}{6}$ のとき。

$f(\frac{\sqrt{10}}{6}) = 5\frac{\sqrt{10}}{6} - 6(\frac{\sqrt{10}}{6})^3 = 5\frac{\sqrt{10}}{6} - 6(\frac{10\sqrt{10}}{216}) = \frac{5\sqrt{10}}{6} - \frac{5\sqrt{10}}{18} = \frac{15\sqrt{10} - 5\sqrt{10}}{18} = \frac{10\sqrt{10}}{18} = \frac{5\sqrt{10}}{9}$

$f(-\frac{\sqrt{10}}{6}) = -\frac{5\sqrt{10}}{9}$

$f(1) = 5 - 6 = -1$

$f(-1) = -5 + 6 = 1$

したがって、$|f(t)|$ の最大値は $\frac{5\sqrt{10}}{9}$ である。

よって、面積の最大値は $\frac{1}{2} \cdot \frac{5\sqrt{10}}{9} = \frac{5\sqrt{10}}{18}$

ただし、$0 \le \theta < 2\pi$において、O,P,Qが一直線上に並ぶ場合は三角形とならない。

$\vec{OP} = k\vec{OQ}$ となる実数 k が存在する場合、一直線上に並ぶ。

$(\cos\theta, \sin\theta) = k(1, 3\sin2\theta) = (k, 6k\sin\theta\cos\theta)$

$\cos\theta = k$, $\sin\theta = 6k\sin\theta\cos\theta$

$\sin\theta(1-6k\cos\theta)=0$

$\sin\theta = 0$ ならば、$\theta = 0, \pi$, $\cos\theta = \pm1$ となるので、k = $\pm$

1. $\sin\theta \ne 0$ ならば、 $6k\cos\theta = 1$, $\cos\theta = k$ より $6k^2=1$, $k = \pm\frac{1}{\sqrt{6}}$

$\cos\theta = \pm\frac{1}{\sqrt{6}}$, $\sin\theta = 3\sin2\theta = \pm\frac{6}{\sqrt{6}}\cdot\frac{1}{\sqrt{6}}\cdot\sqrt{1-\frac{1}{6}} = \pm2\frac{\sqrt{5}}{6} = \pm\frac{\sqrt{5}}{3}$

よって、$\pm$ の組み合わせによっては面積が0にならないので、計算した面積が最大値。

3. 最終的な答え

$\frac{5\sqrt{10}}{18}$