$x$ が $-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ を満たす実数のとき、無限等比級数 $1 + 2x + 4x^2 + 8x^3 + \dots$ の和を求める問題です。

1. 問題の内容

$x$ が $-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ を満たす実数のとき、無限等比級数 $1 + 2x + 4x^2 + 8x^3 + \dots$ の和を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた無限級数は初項 $a = 1$、公比 $r = 2x$ の等比級数です。

等比級数が収束するための条件は、$|r| < 1$、つまり $|2x| < 1$ です。これは $-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ と同値であり、問題文の条件と一致します。

等比級数の和の公式は、

$$S = \frac{a}{1-r}$$

です。

この公式に $a = 1$、 $r = 2x$ を代入すると、

$$S = \frac{1}{1-2x}$$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{1-2x}$