無限等比級数 $\sum_{n=1}^{\infty} 3\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ の和を求めます。

1. 問題の内容

無限等比級数 $\sum_{n=1}^{\infty} 3\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ の和を求めます。

2. 解き方の手順

無限等比級数の和の公式を利用します。

無限等比級数の一般項は $ar^{n-1}$ で表されます。

この問題では、初項 $a=3$ で、公比 $r = \frac{1}{2}$ です。

無限等比級数が収束するための条件は $|r| < 1$ です。

この問題では、$\left|\frac{1}{2}\right| = \frac{1}{2} < 1$ なので、無限等比級数は収束します。

無限等比級数の和 $S$ は、

$S = \frac{a}{1-r}$

で与えられます。

したがって、

$S = \frac{3}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{3}{\frac{1}{2}} = 3 \times 2 = 6$

3. 最終的な答え

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