無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n + 3^n}{5^n}$ の和を求める問題です。

1. 問題の内容

無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n + 3^n}{5^n}$ の和を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた無限級数を2つの無限等比級数に分解します。

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n + 3^n}{5^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{2^n}{5^n} + \frac{3^n}{5^n} \right) = \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{2}{5}\right)^n + \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{3}{5}\right)^n$

無限等比級数の公式を利用します。$\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1} = \frac{a}{1-r}$ ($|r| < 1$)

または $\sum_{n=1}^{\infty} r^n = \frac{r}{1-r}$ ($|r| < 1$)

$\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{2}{5}\right)^n = \frac{\frac{2}{5}}{1 - \frac{2}{5}} = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{2}{3}$

$\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{3}{5}\right)^n = \frac{\frac{3}{5}}{1 - \frac{3}{5}} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{2}{5}} = \frac{3}{2}$

したがって、

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n + 3^n}{5^n} = \frac{2}{3} + \frac{3}{2} = \frac{4}{6} + \frac{9}{6} = \frac{13}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{13}{6}$