$\lim_{n \to \infty} n(\sqrt{n^2 + 1} - n)$ を求める。

1. 問題の内容

$\lim_{n \to \infty} n(\sqrt{n^2 + 1} - n)$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{n^2 + 1} - n$ の部分を有理化します。

$\sqrt{n^2+1} + n$ を分子と分母にかけることで、以下のようになります。

$\sqrt{n^2 + 1} - n = \frac{(\sqrt{n^2 + 1} - n)(\sqrt{n^2 + 1} + n)}{\sqrt{n^2 + 1} + n}$

$= \frac{(n^2 + 1) - n^2}{\sqrt{n^2 + 1} + n}$

$= \frac{1}{\sqrt{n^2 + 1} + n}$

したがって、求める極限は

$\lim_{n \to \infty} n(\sqrt{n^2 + 1} - n) = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n^2 + 1} + n}$

ここで、分母と分子を $n$ で割ります。

$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n^2 + 1} + n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n^2}} + 1}$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{1}{n^2} \to 0$ であるから

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n^2}} + 1} = \frac{1}{\sqrt{1 + 0} + 1}$

$= \frac{1}{\sqrt{1} + 1}$

$= \frac{1}{1 + 1}$

$= \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$