次の極限を求めます。 $\lim_{x\to 4} \frac{x-4}{\sqrt{x-3}-1}$

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

$\lim_{x\to 4} \frac{x-4}{\sqrt{x-3}-1}$

2. 解き方の手順

$x=4$ を代入すると、分子は $4-4=0$ 、分母は $\sqrt{4-3}-1=\sqrt{1}-1=1-1=0$ となり、$0/0$ の不定形になります。

そこで、分母を有理化します。

$\sqrt{x-3}+1$ を分子と分母にかけます。

$\lim_{x\to 4} \frac{x-4}{\sqrt{x-3}-1} = \lim_{x\to 4} \frac{(x-4)(\sqrt{x-3}+1)}{(\sqrt{x-3}-1)(\sqrt{x-3}+1)}$

$= \lim_{x\to 4} \frac{(x-4)(\sqrt{x-3}+1)}{(x-3)-1}$

$= \lim_{x\to 4} \frac{(x-4)(\sqrt{x-3}+1)}{x-4}$

$= \lim_{x\to 4} (\sqrt{x-3}+1)$

ここで、$x=4$ を代入します。

$\sqrt{4-3}+1 = \sqrt{1}+1 = 1+1=2$

3. 最終的な答え

2