次の極限を求める問題です。 $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+7}-3}{x-2}$

1. 問題の内容

次の極限を求める問題です。

$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+7}-3}{x-2}$

2. 解き方の手順

$x \to 2$のとき、$\sqrt{x+7}-3 \to 0$かつ$x-2 \to 0$となるため、$\frac{0}{0}$の不定形です。そこで、分子を有理化して、不定形を解消します。

分子に$\sqrt{x+7}+3$を掛けて割ると、

$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+7}-3}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{(\sqrt{x+7}-3)(\sqrt{x+7}+3)}{(x-2)(\sqrt{x+7}+3)}$

$= \lim_{x \to 2} \frac{(x+7)-9}{(x-2)(\sqrt{x+7}+3)} = \lim_{x \to 2} \frac{x-2}{(x-2)(\sqrt{x+7}+3)}$

$x \neq 2$のとき、$x-2 \neq 0$なので、$x-2$で約分できます。

$\lim_{x \to 2} \frac{x-2}{(x-2)(\sqrt{x+7}+3)} = \lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{x+7}+3}$

$\sqrt{x+7}$は連続関数なので、極限を$\sqrt{x+7}$の中にいれることができます。

$\lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{x+7}+3} = \frac{1}{\sqrt{2+7}+3} = \frac{1}{\sqrt{9}+3} = \frac{1}{3+3} = \frac{1}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{6}$