与えられた関数の極限 $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2-5}-n)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数の極限 $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2-5}-n)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\sqrt{n^2-5} - n$ の形の極限を求めるには、無理式を解消するために共役な式を掛けて分子を有理化します。

まず、$\sqrt{n^2-5} - n$ に $\frac{\sqrt{n^2-5} + n}{\sqrt{n^2-5} + n}$ を掛けます。

$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2-5}-n) = \lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2-5}-n) \cdot \frac{\sqrt{n^2-5}+n}{\sqrt{n^2-5}+n}$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{(n^2-5) - n^2}{\sqrt{n^2-5}+n}$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{-5}{\sqrt{n^2-5}+n}$

ここで、分母と分子を $n$ で割ります。

$= \lim_{n \to \infty} \frac{-\frac{5}{n}}{\sqrt{1-\frac{5}{n^2}}+1}$

$n \to \infty$ のとき $\frac{5}{n} \to 0$ であり、$\frac{5}{n^2} \to 0$ であるから

$= \frac{0}{\sqrt{1-0}+1} = \frac{0}{1+1} = 0$

3. 最終的な答え

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