以下の3つの関数について、与えられた区間における最大値、最小値、およびそれらを与える $x$ の値を求めます。 (1) $f(x) = x^3 - 2x^2 - 4x - 1$ ($-3 \le x \le 3$) (2) $f(x) = (\sin x - 1)\cos x$ ($-\pi \le x \le \pi$) (3) $f(x) = x^2\sqrt{1-x^2}$ ($-1 \le x \le 1$)

はい、承知いたしました。それでは、与えられた3つの関数の最大値と最小値を求め、それぞれの極値を与える $x$ の値を求めます。

1. 問題の内容

以下の3つの関数について、与えられた区間における最大値、最小値、およびそれらを与える $x$ の値を求めます。

(1) $f(x) = x^3 - 2x^2 - 4x - 1$ ($-3 \le x \le 3$)

(2) $f(x) = (\sin x - 1)\cos x$ ($-\pi \le x \le \pi$)

(3) $f(x) = x^2\sqrt{1-x^2}$ ($-1 \le x \le 1$)

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = x^3 - 2x^2 - 4x - 1$ ($-3 \le x \le 3$)

まず、導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = 3x^2 - 4x - 4$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$3x^2 - 4x - 4 = 0$

$(3x+2)(x-2) = 0$

したがって、$x = -\frac{2}{3}, 2$ が極値の候補です。

次に、区間の端点 $x=-3, 3$ および極値の候補 $x=-\frac{2}{3}, 2$ における $f(x)$ の値を計算します。

$f(-3) = (-3)^3 - 2(-3)^2 - 4(-3) - 1 = -27 - 18 + 12 - 1 = -34$

$f(-\frac{2}{3}) = (-\frac{2}{3})^3 - 2(-\frac{2}{3})^2 - 4(-\frac{2}{3}) - 1 = -\frac{8}{27} - \frac{8}{9} + \frac{8}{3} - 1 = \frac{-8-24+72-27}{27} = \frac{13}{27}$

$f(2) = (2)^3 - 2(2)^2 - 4(2) - 1 = 8 - 8 - 8 - 1 = -9$

$f(3) = (3)^3 - 2(3)^2 - 4(3) - 1 = 27 - 18 - 12 - 1 = -4$

したがって、最大値は $\frac{13}{27}$ ($x = -\frac{2}{3}$)、最小値は $-34$ ($x = -3$) です。

(2) $f(x) = (\sin x - 1)\cos x$ ($-\pi \le x \le \pi$)

まず、$f(x)$ を展開します。

$f(x) = \sin x \cos x - \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x - \cos x$

次に、導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = \cos 2x + \sin x$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$\cos 2x + \sin x = 0$

$1 - 2\sin^2 x + \sin x = 0$

$2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$

$(2\sin x + 1)(\sin x - 1) = 0$

$\sin x = -\frac{1}{2}$ または $\sin x = 1$

$-\pi \le x \le \pi$ の範囲で、$\sin x = -\frac{1}{2}$ となるのは $x = -\frac{5\pi}{6}, -\frac{\pi}{6}$

$\sin x = 1$ となるのは $x = \frac{\pi}{2}$

次に、区間の端点 $x=-\pi, \pi$ および極値の候補 $x=-\frac{5\pi}{6}, -\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}$ における $f(x)$ の値を計算します。

$f(-\pi) = (\sin(-\pi)-1)\cos(-\pi) = (0-1)(-1) = 1$

$f(-\frac{5\pi}{6}) = (\sin(-\frac{5\pi}{6})-1)\cos(-\frac{5\pi}{6}) = (-\frac{1}{2}-1)(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = (-\frac{3}{2})(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3\sqrt{3}}{4}$

$f(-\frac{\pi}{6}) = (\sin(-\frac{\pi}{6})-1)\cos(-\frac{\pi}{6}) = (-\frac{1}{2}-1)(\frac{\sqrt{3}}{2}) = (-\frac{3}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{3\sqrt{3}}{4}$

$f(\frac{\pi}{2}) = (\sin(\frac{\pi}{2})-1)\cos(\frac{\pi}{2}) = (1-1)(0) = 0$

$f(\pi) = (\sin(\pi)-1)\cos(\pi) = (0-1)(-1) = 1$

したがって、最大値は $\frac{3\sqrt{3}}{4}$ ($x = -\frac{5\pi}{6}$)、最小値は $-\frac{3\sqrt{3}}{4}$ ($x = -\frac{\pi}{6}$) です。

(3) $f(x) = x^2\sqrt{1-x^2}$ ($-1 \le x \le 1$)

まず、導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = 2x\sqrt{1-x^2} + x^2 \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}} = 2x\sqrt{1-x^2} - \frac{x^3}{\sqrt{1-x^2}}$

$f'(x) = \frac{2x(1-x^2) - x^3}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{2x - 2x^3 - x^3}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{2x - 3x^3}{\sqrt{1-x^2}}$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$2x - 3x^3 = 0$

$x(2 - 3x^2) = 0$

$x = 0$ または $2 - 3x^2 = 0$

$x = 0$ または $x^2 = \frac{2}{3}$

$x = 0$ または $x = \pm\sqrt{\frac{2}{3}} = \pm\frac{\sqrt{6}}{3}$

次に、区間の端点 $x=-1, 1$ および極値の候補 $x=-\frac{\sqrt{6}}{3}, 0, \frac{\sqrt{6}}{3}$ における $f(x)$ の値を計算します。

$f(-1) = (-1)^2\sqrt{1-(-1)^2} = 1\sqrt{1-1} = 0$

$f(-\frac{\sqrt{6}}{3}) = (\frac{2}{3})\sqrt{1-\frac{2}{3}} = \frac{2}{3}\sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{2}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{9}$

$f(0) = 0^2\sqrt{1-0^2} = 0$

$f(\frac{\sqrt{6}}{3}) = (\frac{2}{3})\sqrt{1-\frac{2}{3}} = \frac{2}{3}\sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{2}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{9}$

$f(1) = 1^2\sqrt{1-1^2} = 1\sqrt{1-1} = 0$

したがって、最大値は $\frac{2\sqrt{3}}{9}$ ($x = \pm\frac{\sqrt{6}}{3}$)、最小値は $0$ ($x = -1, 0, 1$) です。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: $\frac{13}{27}$ ($x = -\frac{2}{3}$), 最小値: $-34$ ($x = -3$)

(2) 最大値: $\frac{3\sqrt{3}}{4}$ ($x = -\frac{5\pi}{6}$), 最小値: $-\frac{3\sqrt{3}}{4}$ ($x = -\frac{\pi}{6}$)

(3) 最大値: $\frac{2\sqrt{3}}{9}$ ($x = \pm\frac{\sqrt{6}}{3}$), 最小値: $0$ ($x = -1, 0, 1$)