与えられた積分 $\int e^x \cos x \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int e^x \cos x \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

この積分は部分積分を2回使うことで解けます。

ステップ1：

$u = e^x$, $dv = \cos x \, dx$ とおくと、$du = e^x \, dx$, $v = \sin x$ となります。

部分積分の公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ より、

$$\int e^x \cos x \, dx = e^x \sin x - \int e^x \sin x \, dx$$

ステップ2：

次に $\int e^x \sin x \, dx$ を計算します。$u = e^x$, $dv = \sin x \, dx$ とおくと、$du = e^x \, dx$, $v = -\cos x$ となります。

部分積分の公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ より、

$$\int e^x \sin x \, dx = -e^x \cos x - \int (-\cos x) e^x \, dx = -e^x \cos x + \int e^x \cos x \, dx$$

ステップ3：

ステップ1の結果にステップ2の結果を代入します。

$$\int e^x \cos x \, dx = e^x \sin x - (-e^x \cos x + \int e^x \cos x \, dx) = e^x \sin x + e^x \cos x - \int e^x \cos x \, dx$$

ステップ4：

積分 $\int e^x \cos x \, dx$ を左辺に移項します。

$$2 \int e^x \cos x \, dx = e^x \sin x + e^x \cos x$$

したがって、

$$\int e^x \cos x \, dx = \frac{1}{2} (e^x \sin x + e^x \cos x) + C$$

ここで、$C$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

$$\int e^x \cos x \, dx = \frac{1}{2} e^x (\sin x + \cos x) + C$$