$n$を自然数とするとき、$y = \cos x$ の第$2n$次導関数を求めよ。解析学微分三角関数導関数数学的帰納法2025/7/81. 問題の内容nnnを自然数とするとき、y=cosxy = \cos xy=cosx の第2n2n2n次導関数を求めよ。2. 解き方の手順まず、y=cosxy = \cos xy=cosx の導関数をいくつか計算し、規則性を見つける。y=cosxy = \cos xy=cosxy′=−sinxy' = -\sin xy′=−sinxy′′=−cosxy'' = -\cos xy′′=−cosxy′′′=sinxy''' = \sin xy′′′=sinxy′′′′=cosxy'''' = \cos xy′′′′=cosx4回微分するごとに元の関数に戻ることがわかる。一般に、ddxcosx=−sinx\frac{d}{dx} \cos x = -\sin xdxdcosx=−sinxddxsinx=cosx\frac{d}{dx} \sin x = \cos xdxdsinx=cosxなので、d2dx2cosx=ddx(−sinx)=−cosx\frac{d^2}{dx^2} \cos x = \frac{d}{dx} (-\sin x) = -\cos xdx2d2cosx=dxd(−sinx)=−cosxd4dx4cosx=d2dx2(−cosx)=−(−cosx)=cosx\frac{d^4}{dx^4} \cos x = \frac{d^2}{dx^2} (-\cos x) = - (-\cos x) = \cos xdx4d4cosx=dx2d2(−cosx)=−(−cosx)=cosxとなる。したがって、d2ndx2ncosx=(−1)ncosx\frac{d^{2n}}{dx^{2n}} \cos x = (-1)^n \cos xdx2nd2ncosx=(−1)ncosx3. 最終的な答え(−1)ncosx(-1)^n \cos x(−1)ncosx