$n$を自然数とするとき、$y = \cos x$ の第$2n$次導関数を求めよ。

解析学微分三角関数導関数数学的帰納法
2025/7/8

1. 問題の内容

nnを自然数とするとき、y=cosxy = \cos x の第2n2n次導関数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、y=cosxy = \cos x の導関数をいくつか計算し、規則性を見つける。
y=cosxy = \cos x
y=sinxy' = -\sin x
y=cosxy'' = -\cos x
y=sinxy''' = \sin x
y=cosxy'''' = \cos x
4回微分するごとに元の関数に戻ることがわかる。
一般に、
ddxcosx=sinx\frac{d}{dx} \cos x = -\sin x
ddxsinx=cosx\frac{d}{dx} \sin x = \cos x
なので、
d2dx2cosx=ddx(sinx)=cosx\frac{d^2}{dx^2} \cos x = \frac{d}{dx} (-\sin x) = -\cos x
d4dx4cosx=d2dx2(cosx)=(cosx)=cosx\frac{d^4}{dx^4} \cos x = \frac{d^2}{dx^2} (-\cos x) = - (-\cos x) = \cos x
となる。
したがって、
d2ndx2ncosx=(1)ncosx\frac{d^{2n}}{dx^{2n}} \cos x = (-1)^n \cos x

3. 最終的な答え

(1)ncosx(-1)^n \cos x

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