問題6は、与えられた方程式で定められる $x$ の関数 $y$ について、$\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。 問題7は、$x$ と $y$ が媒介変数 $t$ で表されているとき、$\frac{dy}{dx}$ を $t$ の関数として表す問題です。

1. 問題の内容

問題6は、与えられた方程式で定められる $x$ の関数 $y$ について、$\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。

問題7は、$x$ と $y$ が媒介変数 $t$ で表されているとき、$\frac{dy}{dx}$ を $t$ の関数として表す問題です。

2. 解き方の手順

問題6

(1) $y^2 = 16x$ の両辺を $x$ で微分します。

$2y \frac{dy}{dx} = 16$

$\frac{dy}{dx} = \frac{16}{2y} = \frac{8}{y}$

(2) $4x^2 + y^2 = 1$ の両辺を $x$ で微分します。

$8x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$

$2y \frac{dy}{dx} = -8x$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{8x}{2y} = -\frac{4x}{y}$

(3) $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1$ の両辺を $x$ で微分します。

$\frac{2x}{4} - \frac{2y}{9} \frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{x}{2} - \frac{2y}{9} \frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{2y}{9} \frac{dy}{dx} = \frac{x}{2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{x}{2} \cdot \frac{9}{2y} = \frac{9x}{4y}$

問題7

$x = \frac{2}{\cos t}$ 、 $y = 3 \tan t$ が与えられています。

まず、$\frac{dx}{dt}$ と $\frac{dy}{dt}$ を求めます。

$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} (2 \sec t) = 2 \sec t \tan t = \frac{2 \sin t}{\cos^2 t}$

$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} (3 \tan t) = 3 \sec^2 t = \frac{3}{\cos^2 t}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{3/\cos^2 t}{2 \sin t / \cos^2 t} = \frac{3}{2 \sin t}$

3. 最終的な答え

問題6

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{8}{y}$

(2) $\frac{dy}{dx} = -\frac{4x}{y}$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{9x}{4y}$

問題7

$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2 \sin t}$