与えられた関数 $f(x, y) = -120\ln(x) - 63\ln(y) + 2xy + 6x - 3y$ の極値を求める問題です。 まず、偏微分 $f_x(x, y)$ と $f_y(x, y)$ を計算し、それらが0となる点 $(x, y)$ を求めます。求めた点を $(\alpha_1, \beta_1)$ と $(\alpha_2, \beta_2)$ とします。 次に、ヘッセ行列 $H(x, y)$ を計算し、それぞれの点 $(\alpha_1, \beta_1)$ と $(\alpha_2, \beta_2)$ でのヘッセ行列を評価し、極大値、極小値、または鞍点であるかを判定します。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x, y) = -120\ln(x) - 63\ln(y) + 2xy + 6x - 3y$ の極値を求める問題です。 まず、偏微分 $f_x(x, y)$ と $f_y(x, y)$ を計算し、それらが0となる点 $(x, y)$ を求めます。求めた点を $(\alpha_1, \beta_1)$ と $(\alpha_2, \beta_2)$ とします。 次に、ヘッセ行列 $H(x, y)$ を計算し、それぞれの点 $(\alpha_1, \beta_1)$ と $(\alpha_2, \beta_2)$ でのヘッセ行列を評価し、極大値、極小値、または鞍点であるかを判定します。

2. 解き方の手順

(1) 偏微分 $f_x(x, y)$ と $f_y(x, y)$ を計算します。

$f_x(x, y) = \frac{\partial f}{\partial x} = -\frac{120}{x} + 2y + 6$

$f_y(x, y) = \frac{\partial f}{\partial y} = -\frac{63}{y} + 2x - 3$

(2) $f_x(x, y) = 0$ と $f_y(x, y) = 0$ を満たす $(x, y)$ を求めます。

$-\frac{120}{x} + 2y + 6 = 0$

$-\frac{63}{y} + 2x - 3 = 0$

これらの式を整理すると

$2y + 6 = \frac{120}{x}$

$2x - 3 = \frac{63}{y}$

$y = \frac{60}{x} - 3$

$x = \frac{63}{2y} + \frac{3}{2}$

$y = \frac{60}{x} - 3$ を $x = \frac{63}{2y} + \frac{3}{2}$ に代入します。

$x = \frac{63}{2(\frac{60}{x}-3)} + \frac{3}{2}$

$x = \frac{63}{ \frac{120}{x}-6} + \frac{3}{2}$

$x = \frac{63x}{120-6x} + \frac{3}{2}$

$x(120-6x) = 63x + \frac{3}{2}(120-6x)$

$120x - 6x^2 = 63x + 180 - 9x$

$6x^2 - 66x + 180 = 0$

$x^2 - 11x + 30 = 0$

$(x - 5)(x - 6) = 0$

したがって、$x = 5$ または $x = 6$ です。

(i) $x = 5$ のとき

$y = \frac{60}{5} - 3 = 12 - 3 = 9$

$(\alpha_1, \beta_1) = (5, 9)$

(ii) $x = 6$ のとき

$y = \frac{60}{6} - 3 = 10 - 3 = 7$

$(\alpha_2, \beta_2) = (6, 7)$

(3) ヘッセ行列 $H(x, y)$ を計算します。

$f_{xx}(x, y) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{120}{x^2}$

$f_{yy}(x, y) = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{63}{y^2}$

$f_{xy}(x, y) = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 2$

$f_{yx}(x, y) = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = 2$

$H(x, y) = \begin{pmatrix} f_{xx}(x, y) & f_{xy}(x, y) \\ f_{yx}(x, y) & f_{yy}(x, y) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{120}{x^2} & 2 \\ 2 & \frac{63}{y^2} \end{pmatrix}$

(4) 点 $(\alpha_1, \beta_1) = (5, 9)$ でのヘッセ行列を評価します。

$f_{xx}(5, 9) = \frac{120}{5^2} = \frac{120}{25} = \frac{24}{5} = 4.8$

$|H(5, 9)| = \frac{120}{5^2} \cdot \frac{63}{9^2} - 2^2 = \frac{120}{25} \cdot \frac{63}{81} - 4 = \frac{24}{5} \cdot \frac{7}{9} - 4 = \frac{168}{45} - 4 = \frac{56}{15} - \frac{60}{15} = -\frac{4}{15}$

$f_{xx}(5, 9) > 0$ であり、$|H(5, 9)| < 0$ であるため、点 $(5, 9)$ は鞍点です。

(5) 点 $(\alpha_2, \beta_2) = (6, 7)$ でのヘッセ行列を評価します。

$f_{xx}(6, 7) = \frac{120}{6^2} = \frac{120}{36} = \frac{10}{3}$

$|H(6, 7)| = \frac{120}{6^2} \cdot \frac{63}{7^2} - 2^2 = \frac{10}{3} \cdot \frac{63}{49} - 4 = \frac{10}{3} \cdot \frac{9}{7} - 4 = \frac{90}{21} - 4 = \frac{30}{7} - \frac{28}{7} = \frac{2}{7}$

$f_{xx}(6, 7) > 0$ であり、$|H(6, 7)| > 0$ であるため、点 $(6, 7)$ は極小値を取ります。

3. 最終的な答え

$\alpha_1 = 5$

$\beta_1 = 9$

$\alpha_2 = 6$

$\beta_2 = 7$

$f_{xx}(\alpha_1, \beta_1) = 4.8$

$|H(\alpha_1, \beta_1)| = -\frac{4}{15}$

より、ヘッセ行列は不定であるから、鞍点となる

$f_{xx}(\alpha_2, \beta_2) = \frac{10}{3}$

$|H(\alpha_2, \beta_2)| = \frac{2}{7}$

より、ヘッセ行列は正定値であるから、極小値となる