底面の半径が2cm、高さが10cmの円錐形の容器に水が入っている。頂点Aから水が流れ出ており、Aから水面までの高さが$h$ cmのとき、水の流出速度は関数で表される。Aから水面までの高さが$a$ cmになった瞬間、Aから毎秒$l$ cm³の水が流出している。この瞬間に水面の高さが毎秒何cmの速度で変化しているかを求める。

1. 問題の内容

底面の半径が2cm、高さが10cmの円錐形の容器に水が入っている。頂点Aから水が流れ出ており、Aから水面までの高さが$h$ cmのとき、水の流出速度は関数で表される。Aから水面までの高さが$a$ cmになった瞬間、Aから毎秒$l$ cm³の水が流出している。この瞬間に水面の高さが毎秒何cmの速度で変化しているかを求める。

2. 解き方の手順

まず、円錐の体積を求めます。

円錐の体積$V$は、底面の半径を$r$、高さを$H$とすると、$V = \frac{1}{3}\pi r^2 H$で与えられます。

この問題では、容器の形状は常に相似な円錐形をなしているので、水面から頂点Aまでの高さを$h$とすると、水面の半径$r'$は相似比を用いて求めることができます。

容器全体の半径は2cm、高さは10cmなので、$r'/h = 2/10$。したがって、$r' = h/5$となります。

水が入っている部分の体積$V'$は、$V' = \frac{1}{3}\pi (h/5)^2 h = \frac{\pi}{75}h^3$です。

この体積$V'$の時間変化率は、流出速度$l$を用いて$\frac{dV'}{dt} = -l$と表されます。

体積$V'$を時間$t$で微分すると、

$\frac{dV'}{dt} = \frac{dV'}{dh} \cdot \frac{dh}{dt} = \frac{\pi}{25}h^2 \frac{dh}{dt}$

したがって、

$\frac{\pi}{25}h^2 \frac{dh}{dt} = -l$

$\frac{dh}{dt} = -\frac{25l}{\pi h^2}$

Aから水面までの高さが$a$ cmのとき、$\frac{dh}{dt} = -\frac{25l}{\pi a^2}$

3. 最終的な答え

$-\frac{25l}{\pi a^2}$ cm/秒