無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n + 3^n}{5^n}$ の和を求めます。

1. 問題の内容

無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n + 3^n}{5^n}$ の和を求めます。

2. 解き方の手順

与えられた無限級数を二つの無限級数に分割します。

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n + 3^n}{5^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{5^n} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{5^n}$

それぞれの無限級数は等比級数として表現できます。

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{5^n} = \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{2}{5})^n$

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{5^n} = \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{3}{5})^n$

等比級数の和の公式は $S = \frac{a}{1-r}$ で、ここで $a$ は初項、$r$ は公比です。

ただし、$|r|<1$ である必要があります。

最初の等比級数について、初項は $a_1 = \frac{2}{5}$、公比は $r_1 = \frac{2}{5}$ です。

したがって、最初の等比級数の和は

$S_1 = \frac{\frac{2}{5}}{1 - \frac{2}{5}} = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{2}{3}$

二番目の等比級数について、初項は $a_2 = \frac{3}{5}$、公比は $r_2 = \frac{3}{5}$ です。

したがって、二番目の等比級数の和は

$S_2 = \frac{\frac{3}{5}}{1 - \frac{3}{5}} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{2}{5}} = \frac{3}{2}$

したがって、与えられた無限級数の和は

$S = S_1 + S_2 = \frac{2}{3} + \frac{3}{2} = \frac{4}{6} + \frac{9}{6} = \frac{13}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{13}{6}$