半角の公式を用いて、以下の値を求めます。 (1) $\sin \frac{\pi}{8}$ (2) $\sin \frac{3\pi}{8}$ (3) $\cos \frac{3\pi}{8}$

1. 問題の内容

半角の公式を用いて、以下の値を求めます。

(1) $\sin \frac{\pi}{8}$

(2) $\sin \frac{3\pi}{8}$

(3) $\cos \frac{3\pi}{8}$

2. 解き方の手順

半角の公式を利用します。

$\sin^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos \theta}{2}$

$\cos^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 + \cos \theta}{2}$

(1) $\sin \frac{\pi}{8}$ の場合

$\theta = \frac{\pi}{4}$ とすると、$\frac{\theta}{2} = \frac{\pi}{8}$

$\sin^2 \frac{\pi}{8} = \frac{1 - \cos \frac{\pi}{4}}{2}$

$\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ なので、

$\sin^2 \frac{\pi}{8} = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{2}}{4}$

$\sin \frac{\pi}{8} > 0$ なので、

$\sin \frac{\pi}{8} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

(2) $\sin \frac{3\pi}{8}$ の場合

$\theta = \frac{3\pi}{4}$ とすると、$\frac{\theta}{2} = \frac{3\pi}{8}$

$\sin^2 \frac{3\pi}{8} = \frac{1 - \cos \frac{3\pi}{4}}{2}$

$\cos \frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ なので、

$\sin^2 \frac{3\pi}{8} = \frac{1 - (-\frac{\sqrt{2}}{2})}{2} = \frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{4}$

$\sin \frac{3\pi}{8} > 0$ なので、

$\sin \frac{3\pi}{8} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

(3) $\cos \frac{3\pi}{8}$ の場合

$\theta = \frac{3\pi}{4}$ とすると、$\frac{\theta}{2} = \frac{3\pi}{8}$

$\cos^2 \frac{3\pi}{8} = \frac{1 + \cos \frac{3\pi}{4}}{2}$

$\cos \frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ なので、

$\cos^2 \frac{3\pi}{8} = \frac{1 + (-\frac{\sqrt{2}}{2})}{2} = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{2}}{4}$

$\cos \frac{3\pi}{8} > 0$ なので、

$\cos \frac{3\pi}{8} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin \frac{\pi}{8} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

(2) $\sin \frac{3\pi}{8} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

(3) $\cos \frac{3\pi}{8} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$