次の3つの極限を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to 0} x \cos{\frac{1}{x}}$ (2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin{x}}{x}$ (3) $\lim_{x \to -\infty} \frac{\cos{x}}{x}$

1. 問題の内容

次の3つの極限を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to 0} x \cos{\frac{1}{x}}$

(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin{x}}{x}$

(3) $\lim_{x \to -\infty} \frac{\cos{x}}{x}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 0} x \cos{\frac{1}{x}}$ について

$x \to 0$ のとき、$\cos{\frac{1}{x}}$ は $-1$ から $1$ の間の値を取ります。したがって、$\cos{\frac{1}{x}}$ は有界です。

$x \to 0$ のとき、$x$ は $0$ に近づきます。

したがって、$x \cos{\frac{1}{x}}$ は $0$ に近づきます。これは、はさみうちの原理からも導けます。

$-|x| \leq x \cos{\frac{1}{x}} \leq |x|$ であり、$x \to 0$ のとき $-|x| \to 0$ かつ $|x| \to 0$ なので、$x \cos{\frac{1}{x}} \to 0$ となります。

(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin{x}}{x}$ について

$x \to \infty$ のとき、$\sin{x}$ は $-1$ から $1$ の間の値を取ります。したがって、$\sin{x}$ は有界です。

$x \to \infty$ のとき、$x$ は無限大に発散します。

したがって、$\frac{\sin{x}}{x}$ は $0$ に近づきます。これも、はさみうちの原理からも導けます。

$-\frac{1}{x} \leq \frac{\sin{x}}{x} \leq \frac{1}{x}$ であり、$x \to \infty$ のとき $-\frac{1}{x} \to 0$ かつ $\frac{1}{x} \to 0$ なので、$\frac{\sin{x}}{x} \to 0$ となります。

(3) $\lim_{x \to -\infty} \frac{\cos{x}}{x}$ について

$x \to -\infty$ のとき、$\cos{x}$ は $-1$ から $1$ の間の値を取ります。したがって、$\cos{x}$ は有界です。

$x \to -\infty$ のとき、$x$ は負の無限大に発散します。

したがって、$\frac{\cos{x}}{x}$ は $0$ に近づきます。これも、はさみうちの原理からも導けます。

$\frac{-1}{x} \leq \frac{\cos{x}}{x} \leq \frac{1}{x}$ であり、$x \to -\infty$ のとき $\frac{-1}{x} \to 0$ かつ $\frac{1}{x} \to 0$ なので、$\frac{\cos{x}}{x} \to 0$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{x \to 0} x \cos{\frac{1}{x}} = 0$

(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin{x}}{x} = 0$

(3) $\lim_{x \to -\infty} \frac{\cos{x}}{x} = 0$