与えられた2つの定積分を計算します。 (1) $\int_{\frac{3}{2}}^{\frac{3}{\sqrt{2}}} \frac{6}{\sqrt{9-x^2}} dx$ (2) $\int_{0}^{2} \sqrt{x^2+5} dx$

1. 問題の内容

与えられた2つの定積分を計算します。

(1) $\int_{\frac{3}{2}}^{\frac{3}{\sqrt{2}}} \frac{6}{\sqrt{9-x^2}} dx$

(2) $\int_{0}^{2} \sqrt{x^2+5} dx$

2. 解き方の手順

(1) の積分

定積分 $\int_{\frac{3}{2}}^{\frac{3}{\sqrt{2}}} \frac{6}{\sqrt{9-x^2}} dx$ を計算します。

$\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} dx = \arcsin(\frac{x}{a}) + C$ の公式を利用します。

この場合、$a=3$ です。

$\int \frac{6}{\sqrt{9-x^2}} dx = 6 \int \frac{1}{\sqrt{3^2-x^2}} dx = 6 \arcsin(\frac{x}{3}) + C$

積分範囲 $\frac{3}{2}$ から $\frac{3}{\sqrt{2}}$ まで計算します。

$6 \left[ \arcsin(\frac{x}{3}) \right]_{\frac{3}{2}}^{\frac{3}{\sqrt{2}}} = 6 \left( \arcsin(\frac{3}{3\sqrt{2}}) - \arcsin(\frac{3}{6}) \right) = 6 \left( \arcsin(\frac{1}{\sqrt{2}}) - \arcsin(\frac{1}{2}) \right)$

$= 6 \left( \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} \right) = 6 \left( \frac{3\pi - 2\pi}{12} \right) = 6 \left( \frac{\pi}{12} \right) = \frac{\pi}{2}$

(2) の積分

定積分 $\int_{0}^{2} \sqrt{x^2+5} dx$ を計算します。

公式 $\int \sqrt{x^2+a^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2+a^2} + \frac{a^2}{2} \sinh^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ を利用します。

この場合、$a = \sqrt{5}$ です。

$\int \sqrt{x^2+5} dx = \frac{x}{2} \sqrt{x^2+5} + \frac{5}{2} \sinh^{-1}(\frac{x}{\sqrt{5}}) + C$

積分範囲 $0$ から $2$ まで計算します。

$\left[ \frac{x}{2} \sqrt{x^2+5} + \frac{5}{2} \sinh^{-1}(\frac{x}{\sqrt{5}}) \right]_0^2 = \left( \frac{2}{2} \sqrt{2^2+5} + \frac{5}{2} \sinh^{-1}(\frac{2}{\sqrt{5}}) \right) - \left( 0 + \frac{5}{2} \sinh^{-1}(0) \right)$

$= \sqrt{9} + \frac{5}{2} \sinh^{-1}(\frac{2}{\sqrt{5}}) = 3 + \frac{5}{2} \sinh^{-1}(\frac{2}{\sqrt{5}})$

$\sinh^{-1}(x) = \ln(x+\sqrt{x^2+1})$であるから,

$\sinh^{-1}(\frac{2}{\sqrt{5}}) = \ln(\frac{2}{\sqrt{5}} + \sqrt{\frac{4}{5}+1}) = \ln(\frac{2}{\sqrt{5}}+\sqrt{\frac{9}{5}}) = \ln(\frac{2+3}{\sqrt{5}}) = \ln(\sqrt{5})$

したがって、 $3 + \frac{5}{2} \ln(\sqrt{5}) = 3 + \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2} \ln(5) = 3 + \frac{5}{4} \ln(5)$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\pi}{2}$

(2) $3 + \frac{5}{4} \ln(5)$