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与えられた積分 $\int x^2 \sin x \, dx$ を計算します。

解析学積分部分積分三角関数
2025/7/8
## 回答

1. 問題の内容

与えられた積分 ∫x2sin⁡x dx\int x^2 \sin x \, dx を計算します。

2. 解き方の手順

この積分は部分積分を2回適用して解きます。部分積分の公式は ∫u dv=uv−∫v du\int u \, dv = uv - \int v \, du です。
まず、u=x2u = x^2、dv=sin⁡x dxdv = \sin x \, dx と置きます。すると、du=2x dxdu = 2x \, dx、v=−cos⁡xv = -\cos x となります。したがって、
∫x2sin⁡x dx=−x2cos⁡x−∫(−cos⁡x)(2x dx)=−x2cos⁡x+2∫xcos⁡x dx\int x^2 \sin x \, dx = -x^2 \cos x - \int (-\cos x) (2x \, dx) = -x^2 \cos x + 2 \int x \cos x \, dx
次に、∫xcos⁡x dx\int x \cos x \, dx を計算します。u=xu = x、dv=cos⁡x dxdv = \cos x \, dx と置くと、du=dxdu = dx、v=sin⁡xv = \sin x となります。したがって、
∫xcos⁡x dx=xsin⁡x−∫sin⁡x dx=xsin⁡x+cos⁡x+C1\int x \cos x \, dx = x \sin x - \int \sin x \, dx = x \sin x + \cos x + C_1
これを最初の式に代入します。
∫x2sin⁡x dx=−x2cos⁡x+2(xsin⁡x+cos⁡x)+C\int x^2 \sin x \, dx = -x^2 \cos x + 2 (x \sin x + \cos x) + C
∫x2sin⁡x dx=−x2cos⁡x+2xsin⁡x+2cos⁡x+C\int x^2 \sin x \, dx = -x^2 \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x + C

3. 最終的な答え

∫x2sin⁡x dx=−x2cos⁡x+2xsin⁡x+2cos⁡x+C\int x^2 \sin x \, dx = -x^2 \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x + C

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