与えられた3つの不定積分を計算する問題です。 a) $\int \frac{x^3}{x^2-1} dx$ b) $\int \frac{1}{x(x+1)^2} dx$ c) $\int \frac{x}{(x+1)(x-2)} dx$

1. 問題の内容

与えられた3つの不定積分を計算する問題です。

a) $\int \frac{x^3}{x^2-1} dx$

b) $\int \frac{1}{x(x+1)^2} dx$

c) $\int \frac{x}{(x+1)(x-2)} dx$

2. 解き方の手順

a) $\int \frac{x^3}{x^2-1} dx$

まず、被積分関数を整理します。分子の次数が分母の次数より高いので、割り算を行います。

$\frac{x^3}{x^2-1} = x + \frac{x}{x^2-1}$

したがって、

$\int \frac{x^3}{x^2-1} dx = \int (x + \frac{x}{x^2-1}) dx = \int x dx + \int \frac{x}{x^2-1} dx$

最初の積分は $\int x dx = \frac{x^2}{2} + C_1$ です。

2番目の積分は、置換積分を行います。$u = x^2 - 1$ とすると、$du = 2x dx$ なので、$x dx = \frac{1}{2} du$ です。

$\int \frac{x}{x^2-1} dx = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} \ln|u| + C_2 = \frac{1}{2} \ln|x^2-1| + C_2$

したがって、

$\int \frac{x^3}{x^2-1} dx = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2} \ln|x^2-1| + C$

b) $\int \frac{1}{x(x+1)^2} dx$

部分分数分解を行います。

$\frac{1}{x(x+1)^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^2}$

$1 = A(x+1)^2 + Bx(x+1) + Cx$

$x = 0$ のとき、$1 = A(1)^2 \Rightarrow A = 1$

$x = -1$ のとき、$1 = C(-1) \Rightarrow C = -1$

$1 = (x+1)^2 + Bx(x+1) - x = x^2 + 2x + 1 + Bx^2 + Bx - x = (1+B)x^2 + (1+B)x + 1$

$1+B = 0 \Rightarrow B = -1$

したがって、

$\frac{1}{x(x+1)^2} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} - \frac{1}{(x+1)^2}$

$\int \frac{1}{x(x+1)^2} dx = \int (\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} - \frac{1}{(x+1)^2}) dx = \int \frac{1}{x} dx - \int \frac{1}{x+1} dx - \int \frac{1}{(x+1)^2} dx$

$= \ln|x| - \ln|x+1| + \frac{1}{x+1} + C$

c) $\int \frac{x}{(x+1)(x-2)} dx$

部分分数分解を行います。

$\frac{x}{(x+1)(x-2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-2}$

$x = A(x-2) + B(x+1)$

$x = -1$ のとき、$-1 = A(-1-2) \Rightarrow -1 = -3A \Rightarrow A = \frac{1}{3}$

$x = 2$ のとき、$2 = B(2+1) \Rightarrow 2 = 3B \Rightarrow B = \frac{2}{3}$

したがって、

$\frac{x}{(x+1)(x-2)} = \frac{1/3}{x+1} + \frac{2/3}{x-2}$

$\int \frac{x}{(x+1)(x-2)} dx = \int (\frac{1/3}{x+1} + \frac{2/3}{x-2}) dx = \frac{1}{3} \int \frac{1}{x+1} dx + \frac{2}{3} \int \frac{1}{x-2} dx$

$= \frac{1}{3} \ln|x+1| + \frac{2}{3} \ln|x-2| + C$

3. 最終的な答え

a) $\int \frac{x^3}{x^2-1} dx = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2} \ln|x^2-1| + C$

b) $\int \frac{1}{x(x+1)^2} dx = \ln|x| - \ln|x+1| + \frac{1}{x+1} + C$

c) $\int \frac{x}{(x+1)(x-2)} dx = \frac{1}{3} \ln|x+1| + \frac{2}{3} \ln|x-2| + C$